Задание для самостоятельного решения. Вариант 1. 1) Треугольники ABC и ADC лежат в разных плоскостях и имеют общую сторону AC. Точка P — середина стороны AD, точка K — середина DC. а) Каково взаимное расположение прямых PK и AB? б) Чему равен угол между прямыми PK и AB, если угол ABC равен 40°, а угол BCA равен 80°? Ответ обобщите.

а) В треугольнике ADC точки P и K — середины сторон AD и DC. По теореме о средней линии треугольника, PK ∥ AC. Прямая AB лежит в плоскости ABC, а PK — в плоскости ADC. Эти плоскости пересекаются по прямой AC. Поскольку AB пересекает AC в точке A, а PK параллельна AC и не проходит через A, прямые AB и PK не пересекаются. Они не параллельны, так как AB не параллельна AC: угол BAC равен 60°, а не 0°. Следовательно, прямые скрещиваются.

б) Угол между скрещивающимися прямыми равен углу между пересекающимися прямыми, соответственно параллельными им. Так как PK ∥ AC, искомый угол равен углу между AB и AC, то есть ∠BAC.

В треугольнике ABC сумма углов равна 180°:

∠BAC = 180° − 40° − 80° = 60°.

Обобщение: если две плоскости пересекаются по прямой AC, а прямая в одной из плоскостей параллельна AC и не совпадает с ней, то она скрещивается с прямой другой плоскости, пересекающей AC. Угол между этими прямыми равен углу между второй прямой и AC.

Ответ: а) PK и AB скрещиваются; б) 60°.