Задание для самостоятельного решения. Вариант 1. 3) Точка B не лежит в плоскости △ADC. Точки M, N и P — середины отрезков BA, BC, BD соответственно. а) Доказать, что плоскости (MNP) и (ADC) параллельны. б) Найдите площадь треугольника MNP, если S△ADC = 48 см².

а) В треугольнике ABC точки M и N — середины BA и BC, поэтому по теореме о средней линии MN ∥ AC. В треугольнике ABD точки M и P — середины BA и BD, поэтому MP ∥ AD. Прямые MN и MP пересекаются в M и лежат в плоскости (MNP); прямые AC и AD пересекаются в A и лежат в плоскости (ADC). Поскольку соответственно параллельные пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, плоскости (MNP) и (ADC) параллельны.

б) В треугольнике BCD отрезок NP соединяет середины BC и BD, поэтому NP ∥ CD. Следовательно, треугольники MNP и ADC подобны, причём коэффициент подобия равен 1/2: соответствующие стороны MN, MP и NP вдвое меньше AC, AD и CD.

Площади подобных треугольников относятся как квадраты коэффициента подобия:

\(S_{MNP}=S_{ADC}\cdot(1/2)^2=48\cdot1/4=12\text{ см}^2.\)

Ответ: а) (MNP) ∥ (ADC); б) 12 см².