Задание 3*. Докажите, что если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника равны соответственно гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство:

1. Пусть даны два прямоугольных треугольника \( \triangle ABC \) и \( \triangle A_1B_1C_1 \), где \( \angle C = \angle C_1 = 90^{\circ} \).
2. \( AB = A_1B_1 \) (гипотенузы равны).
3. \( AC = A_1C_1 \) (катеты равны).

Нужно доказать, что \( \triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1 \).

1. По теореме Пифагора в \( \triangle ABC \): \( BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} \).
2. По теореме Пифагора в \( \triangle A_1B_1C_1 \): \( B_1C_1 = \sqrt{A_1B_1^2 - A_1C_1^2} \).
3. Так как \( AB = A_1B_1 \) и \( AC = A_1C_1 \), то \( AB^2 = A_1B_1^2 \) и \( AC^2 = A_1C_1^2 \).
4. Следовательно, \( AB^2 - AC^2 = A_1B_1^2 - A_1C_1^2 \), и \( \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{A_1B_1^2 - A_1C_1^2} \).
5. То есть \( BC = B_1C_1 \).

Таким образом, у треугольников \( \triangle ABC \) и \( \triangle A_1B_1C_1 \) все три стороны соответственно равны: \( AB = A_1B_1 \), \( AC = A_1C_1 \) и \( BC = B_1C_1 \). Следовательно, \( \triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1 \) (по третьему признаку равенства треугольников), что и требовалось доказать.