ЗАДАНИЕ №2 Две стороны треугольника равны 4√2 и 6, площадь треугольника равна 12. Найдите третью сторону треугольника, если известно, что он остроугольный.

Пусть a = $$4\sqrt{2}$$, b = 6, S = 12.

Площадь треугольника можно найти по формуле:

$$S = \frac{1}{2}ab \cdot sinγ$$

Выразим sinγ:

$$sinγ = \frac{2S}{ab} = \frac{2 \cdot 12}{4\sqrt{2} \cdot 6} = \frac{24}{24\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Угол γ, синус которого равен $$\frac{\sqrt{2}}{2}$$, может быть 45° или 135°.

Так как треугольник остроугольный, то угол γ = 45°.

По теореме косинусов:

$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot cosγ$$ $$c^2 = (4\sqrt{2})^2 + 6^2 - 2 \cdot 4\sqrt{2} \cdot 6 \cdot cos45°$$ $$c^2 = 16 \cdot 2 + 36 - 48\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$c^2 = 32 + 36 - 48$$ $$c^2 = 20$$ $$c = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$$

Ответ: $$2\sqrt{5}$$