ЗАДАНИЕ №3 Стороны треугольника относятся как 5 : 6 : 7. Найдите периметр эт треугольника, если его площадь 150√6.

Пусть стороны треугольника равны 5x, 6x и 7x, а площадь равна $$150\sqrt{6}$$.

Полупериметр равен:

$$p = \frac{5x+6x+7x}{2} = \frac{18x}{2} = 9x$$

Площадь треугольника можно найти по формуле Герона:

$$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$ $$S = \sqrt{9x(9x-5x)(9x-6x)(9x-7x)} = \sqrt{9x \cdot 4x \cdot 3x \cdot 2x} = \sqrt{216x^4} = 6x^2\sqrt{6}$$

Приравняем к известной площади:

$$6x^2\sqrt{6} = 150\sqrt{6}$$ $$x^2 = \frac{150\sqrt{6}}{6\sqrt{6}} = 25$$ $$x = 5$$

Периметр равен:

$$P = 5x + 6x + 7x = 18x = 18 \cdot 5 = 90$$

Ответ: 90