ЗАДАНИЕ №8 Основания равнобедренной трапеции равны 2 и 22. Синус острого угла трапеции равен $$\frac{12}{13}$$. Найдите площадь трапеции.

Решим задачу по аналогии с предыдущей! 1. Нарисуем равнобедренную трапецию ABCD, где основания AD = 22 и BC = 2. 2. Опустим высоты BE и CF из вершин B и C на основание AD. Получим два прямоугольных треугольника ABE и DCF. 3. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABE. Из условия нам известен синус острого угла A: $$\sin(A) = \frac{BE}{AB} = \frac{12}{13}$$. 4. Найдем длину отрезка AE. Так как трапеция равнобедренная, то $$AE = FD = \frac{AD - BC}{2} = \frac{22 - 2}{2} = \frac{20}{2} = 10$$. 5. Найдем длину боковой стороны AB. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABE. По теореме Пифагора: $$AB^2 = AE^2 + BE^2$$. Выразим BE через синус угла A: $$BE = AB \cdot \sin(A)$$. Подставим в теорему Пифагора: $$AB^2 = AE^2 + (AB \cdot \sin(A))^2$$. Тогда $$AB^2 = 10^2 + (AB \cdot \frac{12}{13})^2$$. Отсюда $$AB^2 - (AB \cdot \frac{12}{13})^2 = 100$$, $$AB^2(1 - \frac{144}{169}) = 100$$, $$AB^2(\frac{169 - 144}{169}) = 100$$, $$AB^2(\frac{25}{169}) = 100$$, $$AB^2 = 100 \cdot \frac{169}{25} = 4 \cdot 169 = 676$$. Значит, $$AB = \sqrt{676} = 26$$. 6. Найдем высоту BE. Используя синус угла A: $$BE = AB \cdot \sin(A) = 26 \cdot \frac{12}{13} = 2 \cdot 12 = 24$$. 7. Вычислим площадь трапеции. Площадь трапеции находится по формуле: $$S = \frac{BC + AD}{2} \cdot BE = \frac{2 + 22}{2} \cdot 24 = \frac{24}{2} \cdot 24 = 12 \cdot 24 = 288$$. Ответ: Площадь трапеции равна 288.