Задание 5: Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает её боковые стороны AB и CD в точках E и F соответственно. Найдите длину отрезка EF, если AD = 48, BC = 12 и CF : DF = 2 : 7.

Рассмотрим трапецию ABCD, где AD и BC – основания, EF – отрезок, параллельный основаниям. Точки E и F лежат на боковых сторонах AB и CD соответственно. Дано: AD = 48, BC = 12, CF : DF = 2 : 7. Найти: EF. Решение: 1. Пусть CF = 2x, тогда DF = 7x. Следовательно, CD = CF + DF = 2x + 7x = 9x. 2. Проведем через точку C прямую, параллельную AB, до пересечения с AD в точке K. Получим параллелограмм ABCK, следовательно, AK = BC = 12. Тогда KD = AD – AK = 48 – 12 = 36. 3. Рассмотрим \(\triangle KCD\). F лежит на CD, E' – точка пересечения CE' с KD. Так как EF || KD, то CE' : E'D = CF : FD = 2 : 7. 4. Следовательно, DE' = \(\frac{7}{9}\) KD = \(\frac{7}{9}\) * 36 = 28. 5. Тогда KE' = KD - DE' = 36 - 28 = 8. 6. Так как EF = BC + KE', то EF = 12 + 8 = 20. Ответ: EF = 20.