ЗАДАНИЕ №4 Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках K и M соответственно. Отрезки AM и CK пересекаются в точке O. Найдите BK, если OM : AO = 3 : 7, AB = 14.

Поскольку KM параллельна AC, треугольники BKM и BAC подобны. Значит, отрезки AM и CK - чевианы (отрезки, соединяющие вершину треугольника с точкой на противоположной стороне). Точка O - точка пересечения этих чевиан. Из условия OM : AO = 3 : 7, следует, что \(\frac{AO}{OM} = \frac{7}{3}\) Применим теорему Чевы к треугольнику ABC. Пусть BK = x, тогда AK = 14 - x. Также пусть CM = y, тогда BM = BC - y. Теорема Чевы утверждает, что: \(\frac{AK}{KB} \cdot \frac{BM}{MC} \cdot \frac{CN}{NA} = 1\) Однако, в данном случае нам нужно использовать теорему Менелая, поскольку у нас есть информация об отношении отрезков, образованных пересечением чевиан. Более подходящий подход - использовать свойство пропорциональных отрезков в подобных треугольниках. Поскольку KM || AC, то \(\frac{BK}{BA} = \frac{BM}{BC} = \frac{KM}{AC}\) Пусть \(\frac{BK}{AB} = k\), тогда BK = k * AB = 14k Тогда AK = AB - BK = 14 - 14k = 14(1-k) Применим теорему Ван-Обеля: \(\frac{AO}{OM} = \frac{AK}{KB} + \frac{AN}{NC}\), где AN и NC - отрезки, образованные другой чевианой. В нашем случае, \(\frac{AO}{OM} = \frac{7}{3}\). Также \(\frac{AK}{BK} = \frac{14 - BK}{BK} = \frac{14-14k}{14k} = \frac{1-k}{k}\) Нужно найти BK. Для этого воспользуемся свойством: если прямая KM параллельна AC, то \(\frac{BK}{AB} = \frac{BM}{BC}\). Обозначим это отношение за k. Тогда BK = k*AB = 14k. Нам нужно найти k. Используем теорему Ван-Обеля в виде \(\frac{AO}{OM} = \frac{AK}{KB} + \frac{AP}{PC}\), где AP и PC - отрезки, созданные третьей чевианой, проходящей через O. В нашем случае это CC'. Так как отрезки AM и CK пересекаются в точке O, и OM : AO = 3 : 7, применим теорему Чевы в тригонометрической форме или воспользуемся подобием треугольников. Рассмотрим треугольники AOK и MOK. У них общая высота, проведенная из вершины K. Тогда отношение их площадей равно отношению оснований: \(\frac{S_{AOK}}{S_{MOK}} = \frac{AO}{OM} = \frac{7}{3}\) Поскольку KM || AC, то \(\triangle BKM \sim \triangle BAC\). Тогда \(\frac{BK}{BA} = \frac{BM}{BC} = \frac{KM}{AC} = k\). Тогда BK = k * AB = 14k, AK = AB - BK = 14 - 14k \(\frac{S_{BKM}}{S_{BAC}} = k^2\) Используем теорему о пропорциональных отрезках: \(\frac{BK}{KA} = \frac{BM}{MC}\) => \(\frac{BK}{AB} = \frac{BK}{14} = k\) \(\frac{AO}{OM} = \frac{7}{3}\) Тогда по теореме Чевы: \(\frac{AK}{KB} \cdot \frac{BM}{MC} = \frac{AO}{OM}\) \(\frac{14-BK}{BK} = \frac{7}{3}\) => 3(14 - BK) = 7BK => 42 - 3BK = 7BK => 10BK = 42 => BK = 4.2 Ответ: BK = 4.2