ЗАДАНИЕ №3 Расстояние между пристанями А и В равно 99 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через 4 часа вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот проплыл 28 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 2 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Пусть $$v$$ - скорость лодки в неподвижной воде (км/ч). Скорость течения реки равна 2 км/ч. Плот плыл все время $$t$$ часов со скоростью течения реки, то есть 2 км/ч, и проплыл 28 км. Следовательно, $$2t = 28$$ $$t = 14$$ часов. Лодка была в пути $$t - 4 = 14 - 4 = 10$$ часов. Пусть расстояние между пристанями равно $$S = 99$$ км. Время, которое лодка плыла из A в B, равно $$\frac{99}{v + 2}$$, а время, которое лодка плыла из B в A, равно $$\frac{99}{v - 2}$$. Общее время в пути лодки равно 10 часам, значит, $$\frac{99}{v + 2} + \frac{99}{v - 2} = 10$$ Умножим обе части уравнения на $$(v + 2)(v - 2)$$: $$99(v - 2) + 99(v + 2) = 10(v^2 - 4)$$ $$99v - 198 + 99v + 198 = 10v^2 - 40$$ $$198v = 10v^2 - 40$$ $$10v^2 - 198v - 40 = 0$$ Разделим обе части уравнения на 2: $$5v^2 - 99v - 20 = 0$$ Решим квадратное уравнение: $$D = (-99)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-20) = 9801 + 400 = 10201$$ $$\sqrt{D} = \sqrt{10201} = 101$$ $$v_1 = \frac{99 + 101}{2 \cdot 5} = \frac{200}{10} = 20$$ $$v_2 = \frac{99 - 101}{2 \cdot 5} = \frac{-2}{10} = -0.2$$ (не подходит, так как скорость не может быть отрицательной). Следовательно, скорость лодки в неподвижной воде равна 20 км/ч. Ответ: 20