Задание 19 Стороны основания правильной треугольной пирамиды равны 24, а боковые ребра равны 15. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

Площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды состоит из трех равных боковых граней, каждая из которых является равнобедренным треугольником. Для начала найдем высоту боковой грани (апофему). Рассмотрим равнобедренный треугольник со сторонами 15, 15 и 24. Высота, проведенная к основанию, разделит его пополам. Получим прямоугольный треугольник с гипотенузой 15 и катетом 12. По теореме Пифагора найдем второй катет (высоту): $$\displaystyle h = \sqrt{15^2 - 12^2} = \sqrt{225 - 144} = \sqrt{81} = 9$$ Площадь одной боковой грани: $$\displaystyle S_{грани} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 9 = 108$$ Площадь боковой поверхности: $$\displaystyle S_{бок} = 3 \cdot S_{грани} = 3 \cdot 108 = 324$$ Ответ: 324