Задание 21 В основании пирамиды $$SABC$$ лежит правильный треугольник $$ABC$$ со стороной 6, а боковое ребро $$SA$$ перпендикулярно основанию и равно $$3\sqrt{3}$$. Найдите объём пирамиды $$SABC$$.

Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту. В данном случае, основание - правильный треугольник, а высота - боковое ребро $$SA$$. Площадь правильного треугольника со стороной $$a$$ равна $$\frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$$. В нашем случае $$a = 6$$, следовательно: $$\displaystyle S_{осн} = \frac{6^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{36 \sqrt{3}}{4} = 9 \sqrt{3}$$ Высота пирамиды $$SA = 3\sqrt{3}$$. Тогда объем пирамиды равен: $$\displaystyle V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 9\sqrt{3} \cdot 3\sqrt{3} = \frac{1}{3} \cdot 9 \cdot 3 \cdot (\sqrt{3})^2 = \frac{1}{3} \cdot 27 \cdot 3 = 9 \cdot 3 = 27$$ Ответ: 27