ЗАДАНИЕ №6 Точки *K, L, M, N* – середины сторон равнобедренной трапеции *ABCD*. Точки *F, P, T, R* – середины сторон четырёхугольника *KLMN*. Найдите периметр четырёхугольника *FPTR*, если высота трапеции *ABCD* равна 12 и *AD* = 20, *BC* = 14.

Четырёхугольник, вершинами которого являются середины сторон равнобедренной трапеции, является ромбом. Его сторона равна средней линии трапеции.

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований, то есть $$\frac{AD + BC}{2}$$.

Тогда сторона ромба равна $$\frac{20 + 14}{2} = \frac{34}{2} = 17$$.

Четырёхугольник, вершинами которого являются середины сторон ромба, является прямоугольником. Диагонали этого прямоугольника равны между собой и равны половине высоты трапеции.

Следовательно, диагонали прямоугольника FPTR равны $$\frac{1}{2} \cdot 12 = 6$$.

Периметр прямоугольника FPTR равен $$2 \cdot (FP + PT)$$.

Т.к. FPTR - прямоугольник, то диагонали равны и в точке пересечения делятся пополам. Тогда по теореме Пифагора для треугольника FOT (O - точка пересечения диагоналей FPTR):

$$FP^2 + PT^2 = FT^2$$

$$FT = \frac{1}{2}KL = \frac{1}{2} \cdot 17 = 8.5$$

$$OF = OT = 3$$

Тогда по теореме Пифагора:

$$FP = \sqrt{8.5^2 - 3^2} = \sqrt{72.25 - 9} = \sqrt{63.25} \approx 7.95$$

$$PT = \sqrt{8.5^2 - 3^2} = \sqrt{72.25 - 9} = \sqrt{63.25} \approx 7.95$$

Периметр прямоугольника:

$$P = 2 \cdot (7.95 + 7.95) = 2 \cdot 15.9 = 31.8$$

Ответ: 31.8