ЗАДАНИЕ №6 Точки K, L, M, N – середины сторон равнобедренной трапеции ABCD. P, T, R – середины сторон четырёхугольника KLMN. Найдите периметр четырёхугольника FPTR, если высота трапеции ABCD равна 10 и AD = 16, BC = 8.

Т.к. K, L, M, N – середины сторон равнобедренной трапеции ABCD, то KLMN – ромб. Тогда P, T, R – середины сторон ромба KLMN, следовательно, FPTR – прямоугольник, диагонали которого равны средним линиям трапеции ABCD.

Средняя линия трапеции равна: $$m = \frac{AD + BC}{2} = \frac{16+8}{2} = 12$$

Длина боковой стороны трапеции равна:

$$AB = CD = \sqrt{h^2 + (\frac{AD-BC}{2})^2} = \sqrt{10^2 + (\frac{16-8}{2})^2} = \sqrt{100+16} = \sqrt{116}$$

Диагонали прямоугольника FPTR равны средней линии трапеции, а стороны являются половинами диагоналей ромба KLMN, стороны которого равны \(\frac{1}{2} \sqrt{116}\).

Пусть диагонали ромба KLMN равны $$d_1 = m, d_2 = h$$, где h - высота трапеции.

Тогда стороны прямоугольника FPTR равны: $$a = \frac{d_1}{2} = \frac{12}{2} = 6, b = \frac{d_2}{2} = \frac{10}{2} = 5$$

Периметр прямоугольника FPTR равен: $$P_{FPTR} = 2(a+b) = 2(6+5) = 22$$

Ответ: 22