ЗАДАНИЕ №7 Угол \( \angle ACB \) равен 34°. Градусная мера дуги \( \stackrel{\frown}{DE} \) окружности, не содержащей точек A и B, равна 42°. Найдите угол \( \angle AKB \). Ответ дайте в градусах.

Угол \( \angle ACB \) является вписанным углом, опирающимся на дугу \( \stackrel{\frown}{AB} \). Следовательно, градусная мера дуги \( \stackrel{\frown}{AB} \) равна удвоенной градусной мере угла \( \angle ACB \): \( \stackrel{\frown}{AB} = 2 \cdot \angle ACB = 2 \cdot 34° = 68° \) Угол \( \angle AKB \) является центральным углом, опирающимся на дугу \( \stackrel{\frown}{AB} \). Градусная мера полной окружности равна 360°. Тогда градусная мера дуги \( \stackrel{\frown}{ADB} \) равна \( 360° - 42° - 68° = 250° \). Так как \( \angle AKB \) является центральным углом, то его градусная мера равна градусной мере дуги, на которую он опирается. Учитывая, что \( \stackrel{\frown}{AB} = 68° \), а \( \stackrel{\frown}{DE} = 42° \), градусная мера всей дуги \( \stackrel{\frown}{ADB} \) равна сумме градусных мер дуг \( \stackrel{\frown}{AD} \), \( \stackrel{\frown}{DE} \) и \( \stackrel{\frown}{EB} \). По условию, нам дана градусная мера дуги \( \stackrel{\frown}{DE} = 42° \). Так как угол \( \angle AKB \) опирается на дугу \( \stackrel{\frown}{ADB} \), то градусная мера угла \( \angle AKB \) равна: \( \angle AKB = \frac{1}{2} (\stackrel{\frown}{AB} + \stackrel{\frown}{DE}) = \frac{1}{2} (68° + 42°) = \frac{1}{2} (110°) = 55° \) Однако, есть и другой вариант, когда \( \angle AKB \) - угол между хордами, и он равен полусумме дуг, заключенных между ними. В данном случае, \( \angle AKB = \frac{\stackrel{\frown}{AB} + \stackrel{\frown}{DE}}{2} = \frac{68° + 42°}{2} = \frac{110°}{2} = 55° \) Рассмотрим случай, когда \( \angle AKB \) опирается на большую дугу \( \stackrel{\frown}{AEB} \). Тогда: \( \angle AKB = \frac{1}{2} (360° - \stackrel{\frown}{AB} - \stackrel{\frown}{DE}) = \frac{1}{2} (360° - 68° - 42°) = \frac{1}{2} (250°) = 125° \) Таким образом, возможны два варианта для угла \( \angle AKB \): 55° или 125°. Но из рисунка видно, что угол \( \angle AKB \) - тупой. Тогда: \( \angle AKB = 125° \) Ответ: 125