ЗАДАНИЕ №1 Упростите выражение: x - 2 x + 2 4 –––––– – –––––– + –––––– = 4x + 8 4x - 8 x² – 4 x² – 8x + 12

Для упрощения выражения необходимо выполнить действия сложения и вычитания дробей. Приведем все дроби к общему знаменателю. Заметим, что:

• $$4x+8 = 4(x+2)$$
• $$4x-8 = 4(x-2)$$
• $$x^2-4 = (x-2)(x+2)$$

Также разложим на множители выражение $$x^2-8x+12$$. Найдем корни квадратного уравнения $$x^2-8x+12=0$$:

$$D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 64 - 48 = 16$$ $$x_1 = \frac{-(-8) + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{8+4}{2} = 6$$ $$x_2 = \frac{-(-8) - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{8-4}{2} = 2$$

Тогда, $$x^2-8x+12 = (x-6)(x-2)$$.

Общий знаменатель: $$4(x-6)(x-2)(x+2)$$. Учитывая, что:

• $$4x+8 = 4(x+2)$$
• $$4x-8 = 4(x-2)$$
• $$x^2-4 = (x-2)(x+2)$$
• $$x^2-8x+12 = (x-6)(x-2)$$

Преобразуем выражение:

$$\frac{x-2}{4(x+2)} - \frac{x+2}{4(x-2)} + \frac{4}{(x-2)(x+2)} =$$ $$\frac{(x-2)(x-2)(x-6) - (x+2)(x+2)(x-6) + 4 \cdot 4(x-6)}{4(x-6)(x-2)(x+2)} =$$ $$\frac{(x^2-4x+4)(x-6) - (x^2+4x+4)(x-6) + 16(x-6)}{4(x-6)(x-2)(x+2)} =$$ $$\frac{(x^3-6x^2-4x^2+24x+4x-24) - (x^3-6x^2+4x^2-24x+4x-24) + 16x-96}{4(x-6)(x-2)(x+2)} =$$ $$\frac{(x^3-10x^2+28x-24) - (x^3-2x^2-20x-24) + 16x-96}{4(x-6)(x-2)(x+2)} =$$ $$\frac{x^3-10x^2+28x-24 - x^3+2x^2+20x+24 + 16x-96}{4(x-6)(x-2)(x+2)} =$$ $$\frac{-8x^2+64x-96}{4(x-6)(x-2)(x+2)} = \frac{-8(x^2-8x+12)}{4(x-6)(x-2)(x+2)} =$$ $$\frac{-8(x-6)(x-2)}{4(x-6)(x-2)(x+2)} = \frac{-2}{x+2}$$

Ответ: $$\frac{-2}{x+2}$$