ЗАДАНИЕ №8 В треугольнике ABC угол B равен 57°, AD, BE и CF - высоты, пересекающиеся в точке O. Найдите угол AOF.

Для решения этой задачи, также воспользуемся тем, что сумма углов в треугольнике равна 180 градусам и свойствами высот треугольника. 1. **Рассмотрим треугольник ABF:** Угол B равен 57°, и угол \( \angle AFB \) прямой, так как CF - высота. Тогда \( \angle BAF = 90^{\circ} - \angle B = 90^{\circ} - 57^{\circ} = 33^{\circ} \) 2. **Угол AOF является вертикальным углом к углу EOC:** Угол \( \angle AOF = \angle EOC \) 3. **Рассмотрим треугольник BCE:** Угол \( \angle BEC \) прямой, так как BE - высота. 4. **Найдем угол C в треугольнике ABC:** В данном случае, нам не дан угол A. Но мы можем найти угол C, если найдем угол A. Однако можно решить иначе: 5. **Рассмотрим прямоугольный треугольник BFC:** В нем угол B равен 57°, угол BFC равен 90°. Следовательно, угол \( \angle BCF = 90^{\circ} - 57^{\circ} = 33^{\circ} \) 6. **Угол AOF и угол COB - смежные с вертикальными углами:** \( \angle AOF = 90 - (90 - angleB) = angleB - (90-angle B) = angle B = 57^{ \circ} \) 7. **Рассмотрим треугольник AOC** угол \( \angle AOF = 90-A = \) 8. **А другой способ:** Угол \( \angle AOF \) и \( \angle BOF \) - смежные, следовательно, \( \angle AOF = 180 - \angle BOF\) \( \angle BOF = 90-A \) из треугольника AOF. A = 33, \( angle BOF = 90 - 33 = 57\) Так что \( \angle AOF = 180 - 57 = 123\) **Ответ:** \( \angle AOF = 123^{\circ} \)