Задание 21 В треугольнике АВС сторона АС = 78, BM – медиана, ВΗ – высота, ВС = ВМ. Найдите длину отрезка АН.

Пусть дан треугольник ABC, в котором AC = 78, BM - медиана, BH - высота, BC = BM.

Так как BM - медиана, то AM = MC = AC / 2 = 78 / 2 = 39.

Рассмотрим треугольник BMC. Так как BC = BM, то треугольник BMC - равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то есть угол BMC = угол BCM.

Обозначим угол BCM как x. Тогда угол BMC также равен x.

Внешний угол треугольника ABM равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Значит, угол AMB = угол MBC + угол BCM.

С другой стороны, углы AMB и BMC - смежные, то есть угол AMB + угол BMC = 180°. Тогда угол AMB = 180° - x.

Следовательно, 180° - x = угол MBC + x. Отсюда угол MBC = 180° - 2x.

Рассмотрим треугольник BHC. В этом треугольнике угол BHC = 90° (так как BH - высота). Угол BCH = x.

Значит, угол CBH = 90° - x.

Угол ABC = угол MBC + угол CBH = (180° - 2x) + (90° - x) = 270° - 3x.

Выразим угол ABH: угол ABH = угол ABC - угол CBH = (270° - 3x) - (90° - x) = 180° - 2x.

Рассмотрим треугольник ABH. В этом треугольнике угол AHB = 90°. Тогда угол BAH = 90° - угол ABH = 90° - (180° - 2x) = 2x - 90°.

Так как BM - медиана и BC = BM, то треугольник BCM - равнобедренный. Следовательно, угол MBC = углу MCB. Так как BH - высота, то треугольник BHC - прямоугольный.

В треугольнике BMC: BC=BM, значит углы при основании MC равны, то есть угол C = углу BMC. Обозначим угол C = x, тогда угол BMC = x. Угол BMA смежный с углом BMC, значит угол BMA = 180 - x.

В треугольнике BMA: угол MBA + угол MAB = 180 - угол BMA = 180 - (180 - x) = x.

Треугольник BHC: угол HBC = 90 - x. Тогда угол ABH = угол ABC - угол HBC = (180 - 2x) - (90 - x) = 90 - x.

Треугольник ABH: угол BAH = 90 - (90 - x) = x.

Получается, что угол C = угол BAH = x, значит BH является высотой и медианой, следовательно треугольник ABC равнобедренный, AB=BC.

Так как BC=BM и BM - медиана, то BC=BM=AM=MC=39, тогда AH=AM=39.

Ответ: 39