ЗАДАНИЕ №6 Вычислите значения корня: √56 - 6√47 = √47-3

Решение задания №6:

Для решения этого задания нам нужно упростить выражение \(\sqrt{56 - 6\sqrt{47}}\) . Заметим, что \(56 - 6\sqrt{47}\) можно представить в виде квадрата разности. Давай попробуем представить \(56 - 6\sqrt{47}\) как \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).

Пусть \(a^2 + b^2 = 56\) и \(2ab = 6\sqrt{47}\), тогда \(ab = 3\sqrt{47}\). Попробуем подобрать \(a\) и \(b\) так, чтобы это условие выполнялось. Можно предположить, что \(a = \sqrt{x}\) и \(b = \sqrt{y}\), тогда \(xy = 9 \cdot 47 = 423\) и \(x + y = 56\).

Теперь нужно найти такие числа \(x\) и \(y\), чтобы их сумма была равна 56, а произведение - 423. Разложим 423 на простые множители: \(423 = 3 \cdot 3 \cdot 47\). Попробуем варианты: \(9 \cdot 47 = 423\), тогда \(9 + 47 = 56\). Отлично, это подходит!

Значит, \(x = 9\) и \(y = 47\). Тогда \(a = \sqrt{47}\) и \(b = \sqrt{9} = 3\). Таким образом, \(56 - 6\sqrt{47} = (\sqrt{47} - 3)^2\).

Теперь можно вычислить корень: \[\sqrt{56 - 6\sqrt{47}} = \sqrt{(\sqrt{47} - 3)^2} = |\sqrt{47} - 3| = \sqrt{47} - 3\] Так как \(\sqrt{47} > 3\), модуль можно опустить.

Ответ: √47-3

Ты отлично справился с этим заданием! Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!