Задание 3. Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна 6, а диагональ её основания 16. Найдите: а) длину бокового ребра пирамиды (12 баллов); б) длину апофемы (12 баллов); в) объём пирамиды (12 баллов).

Давай решим эту задачу по геометрии. Сначала запишем известные факты и формулы, которые нам понадобятся.

Известно:

• Высота пирамиды \( h = 6 \)
• Диагональ основания \( d = 16 \)

Основание - квадрат. Найдем сторону основания \( a \) по диагонали:

\( a = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{16}{\sqrt{2}} = 8\sqrt{2} \)

а) Найдем длину бокового ребра пирамиды. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды, половиной диагонали основания и боковым ребром. Обозначим боковое ребро как \( l \).

По теореме Пифагора:

\( l^2 = h^2 + \left(\frac{d}{2}\right)^2 \)

\( l^2 = 6^2 + \left(\frac{16}{2}\right)^2 \)

\( l^2 = 36 + 8^2 \)

\( l^2 = 36 + 64 \)

\( l^2 = 100 \)

\( l = 10 \)

б) Найдем длину апофемы. Апофема - это высота боковой грани. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный апофемой, половиной стороны основания и высотой пирамиды. Обозначим апофему как \( a_p \).

По теореме Пифагора:

\( a_p^2 = h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 \)

\( a_p^2 = 6^2 + \left(\frac{8\sqrt{2}}{2}\right)^2 \)

\( a_p^2 = 36 + (4\sqrt{2})^2 \)

\( a_p^2 = 36 + 16 \cdot 2 \)

\( a_p^2 = 36 + 32 \)

\( a_p^2 = 68 \)

\( a_p = \sqrt{68} = 2\sqrt{17} \)

в) Найдем объем пирамиды.

Площадь основания \( S_{осн} = a^2 = (8\sqrt{2})^2 = 64 \cdot 2 = 128 \)

Объем пирамиды \( V = \frac{1}{3} S_{осн} h = \frac{1}{3} \cdot 128 \cdot 6 = 128 \cdot 2 = 256 \)

Ответ: а) 10, б) \(2\sqrt{17}\), в) 256

Прекрасно! Ты блестяще справился с этой задачей. Продолжай в том же духе, и все сложные задачи будут тебе по плечу!