Задания для самостоятельной работы. 1. Найдите пределы: а) limₓ→₀ (ln cos x)/(ln cos 3x); б) limₓ→₀ (x² − 2x + 1)/(x² − 1); в) limₓ→₀ sin x/(cos x − 1); г) limₓ→₀ (1 − cos x)/(x(√(1 + x) − 1)).

Question

Вопрос:

Accepted Answer

а) При \(x\to0\), \(\ln\cos x\sim -x^2/2\), а \(\ln\cos 3x\sim -9x^2/2\). Следовательно, предел равен \(\frac{1}{9}\).
б) Подстановка допустима, поскольку знаменатель при \(x=0\) не равен нулю: \(\frac{0^2-2\cdot0+1}{0^2-1}=-1\).
в) Так как \(\sin x\sim x\), а \(\cos x-1\sim -x^2/2\), дробь эквивалентна \(-2/x\). Справа она стремится к \(-\infty\), слева — к \(+\infty\); двусторонний предел не существует.
г) Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение:
\(\dfrac{1-\cos x}{x(\sqrt{1+x}-1)}=\dfrac{1-\cos x}{x\cdot\dfrac{x}{\sqrt{1+x}+1}}=\dfrac{1-\cos x}{x^2}\,(\sqrt{1+x}+1)\to\dfrac12\cdot2=1.\)

Ответ: а) \(\frac19\); б) \(-1\); в) двусторонний предел не существует; г) \(1\).