Задания для самостоятельной работы. 1. Найти пределы: а) limₓ→₀ (ln cos x)/(ln cos 3x); б) limₓ→₁ (x³ − 2x + 1)/(x² − 1); в) limₓ→₀ sin x/(cos x − 1); г) limₓ→₀ (1 − cos x)/(x(√(1 + x) − 1)).

1. а) При \(x\to0\) используем эквивалентность \(\ln\cos u\sim-u^2/2\):

   \[\lim_{x\to0}\frac{\ln\cos x}{\ln\cos 3x}=\lim_{x\to0}\frac{-x^2/2}{-9x^2/2}=\frac19.\]

2. б) Разложим числитель и знаменатель на множители:

   \[\frac{x^3-2x+1}{x^2-1}=\frac{(x-1)(x^2+x-1)}{(x-1)(x+1)}.\]

   Сокращаем общий множитель и подставляем \(x=1\):

   \[\lim_{x\to1}\frac{x^2+x-1}{x+1}=\frac{1+1-1}{2}=\frac12.\]

3. в) Так как \(\sin x\sim x\), а \(\cos x-1\sim-x^2/2\), дробь ведёт себя как \(-2/x\). Справа она стремится к \(-\infty\), слева — к \(+\infty\), поэтому двустороннего предела нет.

4. г) Умножим на сопряжённое выражение:

   \[\frac{1-\cos x}{x(\sqrt{1+x}-1)}=\frac{1-\cos x}{x}\cdot\frac{\sqrt{1+x}+1}{x}.\]

   Используя \(1-\cos x\sim x^2/2\) и \(\sqrt{1+x}+1\to2\), получаем

   \[\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x(\sqrt{1+x}-1)}=1.\]

Ответ: а) \(1/9\); б) \(1/2\); в) двусторонний предел не существует; г) \(1\).