Задания для самостоятельной работы. 2. Найти интегралы: а) ∫ sin x cos x dx; б) ∫ x dx/√(x² − x⁴); в) ∫ cos x cos 5x dx.

а) Подстановка \(u=\sin x\), \(du=\cos x\,dx\):

\[\int\sin x\cos x\,dx=\int u\,du=\frac{u^2}{2}+C=\frac{\sin^2x}{2}+C.\]

б) Подкоренное выражение раскладывается: \(x^2-x^4=x^2(1-x^2)\), поэтому \(\sqrt{x^2-x^4}=|x|\sqrt{1-x^2}\). На интервале \(0<x<1\) подынтегральная функция равна \(1/\sqrt{1-x^2}\), а на \(-1<x<0\) — \(-1/\sqrt{1-x^2}\). Следовательно, первообразная задаётся по интервалам:

\[\int\frac{x\,dx}{\sqrt{x^2-x^4}}=\begin{cases}\arcsin x+C_+, & 0<x<1,\\-\arcsin x+C_-, & -1<x<0.\end{cases}\]

в) Применим формулу произведения косинусов:

\[\cos x\cos5x=\frac12\bigl(\cos4x+\cos6x\bigr).\]

Интегрируем каждое слагаемое:

\[\int\cos x\cos5x\,dx=\frac18\sin4x+\frac1{12}\sin6x+C.\]