19. Задумали четырехзначное число, все цифры которого различны, вторая и третья цифры которого равны 3 и 8. Из него вычли четырехзначное число, записанное теми же цифрами в об- ратном порядке. Получили число 2547. Найдите сумму трех наименьших чисел, удовлетворяю- щих таким условиям.

Решение:

Пусть задуманное число имеет вид abcd, где:

• a – первая цифра (тысячи)
• b – вторая цифра (сотни)
• c – третья цифра (десятки)
• d – четвёртая цифра (единицы)

Из условия задачи известно, что:

• b = 3
• c = 8

Тогда наше число имеет вид a38d. Число, записанное в обратном порядке, будет d83a. Разность между ними равна 2547:

\[(1000a + 300 + 80 + d) - (1000d + 800 + 30 + a) = 2547\]

\[999a - 999d - 550 = 2547\]

\[999a - 999d = 3097\]

\[999(a - d) = 3097\]

\[a - d = \frac{3097}{999} \approx 3.1\]

Так как a и d - целые числа, разница между ними должна быть целым числом. Ближайшее целое число к 3.1 это 3.

\[a - d = 3\]

Также известно, что все цифры должны быть разными, значит, a ≠ 3 и d ≠ 8.

Переберём возможные варианты:

• Если d = 0, то a = 3 – не подходит, так как b = 3.
• Если d = 1, то a = 4. Получаем число 4381.
• Если d = 2, то a = 5. Получаем число 5382.
• Если d = 4, то a = 7. Получаем число 7384.
• Если d = 5, то a = 8 – не подходит, так как c = 8.
• Если d = 6, то a = 9. Получаем число 9386.

Итак, числа, удовлетворяющие условию: 4381, 5382, 7384, 9386.

Три наименьших числа: 4381, 5382, 7384.

Сумма этих чисел: 4381 + 5382 + 7384 = 17147.

Ответ: 17147

Проверка за 10 секунд: Числа должны быть четырехзначными с 3 и 8 на втором и третьем месте, разность при вычитании «задом наперед» должна быть 2547, а цифры – разными.

Редфлаг: Будь внимателен к условиям задачи, особенно к требованиям, чтобы все цифры были различными. Это часто упускают из виду.