17) Задумали нечётное трёхзначное число, которое делится на 9. Из него вычли трёхзначное число, записанное теми же цифрами в обратном порядке. Получили число 693. Какое число было задумано?

Решение: Пусть задуманное число имеет вид \(\overline{abc}\), где a, b, c - цифры, причем число нечетное. Тогда число можно представить как \(100a + 10b + c\). Число, записанное в обратном порядке, имеет вид \(\overline{cba}\), и его можно представить как \(100c + 10b + a\). По условию, разность этих чисел равна 693: $$(100a + 10b + c) - (100c + 10b + a) = 693$$ $$99a - 99c = 693$$ $$99(a - c) = 693$$ $$a - c = \frac{693}{99} = 7$$ Так как a и c - цифры, и их разность равна 7, возможны следующие варианты: a = 8, c = 1 или a = 9, c = 2 или a=7, c=0. Но число abc должно быть нечетным, значит c - нечетная цифра, следовательно подходит только вариант a = 8, c = 1. Тогда число имеет вид \(\overline{8b1}\). Также известно, что число \(\overline{8b1}\) делится на 9, значит сумма его цифр делится на 9: $$8 + b + 1 = 9 + b$$ Сумма \(9 + b\) должна делиться на 9. Значит, \(b\) может быть либо 0, либо 9. Таким образом, возможные числа: 801 и 891. Проверим эти числа: Для числа 801: $$801 - 108 = 693$$ неверно Для числа 891: $$891 - 198 = 693$$ верно Ответ: Задумано число 891.