17) Задумали трёхзначное число, которое делится на 37 и последняя цифра которого в 2 раза меньше первой. Из него вычли трёхзначное число, записанное теми же цифрами в обратном порядке. Полученная разность оказалась больше 300. Какое число было задумано?

Решение: Пусть трехзначное число имеет вид $$\overline{abc}$$, где a, b, c - цифры. По условию, c = a/2, значит, a - четное число. Так как c - цифра, то a может быть только 2, 4, 6, 8. Тогда, возможные числа имеют вид: $$\overline{2b1}, \overline{4b2}, \overline{6b3}, \overline{8b4}$$. Эти числа делятся на 37, значит, можно записать: $$\overline{2b1} = 37 * x$$ $$\overline{4b2} = 37 * y$$ $$\overline{6b3} = 37 * z$$ $$\overline{8b4} = 37 * w$$ Для каждого из этих чисел найдем разность с числом, записанным в обратном порядке, чтобы она была больше 300. $$\overline{abc} - \overline{cba} > 300$$ 1. $$\overline{2b1} - \overline{1b2} > 300 $$ $$(200 + 10b + 1) - (100 + 10b + 2) > 300$$ $$99 > 300$$ (неверно) 2. $$\overline{4b2} - \overline{2b4} > 300 $$ $$(400 + 10b + 2) - (200 + 10b + 4) > 300$$ $$198 > 300$$ (неверно) 3. $$\overline{6b3} - \overline{3b6} > 300 $$ $$(600 + 10b + 3) - (300 + 10b + 6) > 300$$ $$297 > 300$$ (неверно) 4. $$\overline{8b4} - \overline{4b8} > 300 $$ $$(800 + 10b + 4) - (400 + 10b + 8) > 300$$ $$396 > 300$$ (верно) Теперь надо проверить, какие из чисел вида $$\overline{8b4}$$ делятся на 37. Перебираем значения b от 0 до 9: * 804 / 37 = не целое * 814 / 37 = не целое * 824 / 37 = не целое * 834 / 37 = не целое * 844 / 37 = не целое * 854 / 37 = не целое * 864 / 37 = не целое * 874 / 37 = не целое * 884 / 37 = не целое * 894 / 37 = не целое Проверим другие числа, разделив их на 37: 259 / 37 = 7 407 / 37 = 11 629 / 37 = 17 814 / 37 = 22 Число 259: 259 - 952 = -693 Число 407: 407 - 704 = -297 Число 629: 629 - 926 = -297 Число 814: 814 - 418 = 396 Число 251: 251 / 37 = не целое Проверка: 259 = 37 * 7 (Последняя цифра не в два раза меньше первой) 407 = 37 * 11 (Последняя цифра не в два раза меньше первой) 629 = 37 * 17 (Последняя цифра не в два раза меньше первой) 814 = 37 * 22 (Последняя цифра не в два раза меньше первой) Пробуем другие варианты: 296/37 = 8, 491/37 = 13, 666/37 = 18, 814/37 = 22. Возможное решение: 444. 444 делится на 37 (444/37 = 12). 444-444 = 0. Другое возможное решение: 814 - 418 = 396 Так как у нас не нашлось ни одного трехзначного числа, которое удовлетворяло бы всем условиям задачи (делилось на 37, последняя цифра в 2 раза меньше первой и разность с перевернутым числом больше 300), то можно предположить, что в условии задачи есть ошибка. Тем не менее, если бы нужно было найти число, удовлетворяющее только условию деления на 37 и условию, что разность с перевернутым числом больше 300, то ответом было бы число 814. Ответ: 814