Задумали трёхзначное число, которое делится на 29 и первая цифра которого в 4 раза больше первой. Из него вычли трёхзначное число, записанное теми же цифрами в обратном порядке. Полученная разность оказалась больше 400. Какое число было задумано?

1. Пусть задуманное число равно $$100a + 10b + c$$. По условию $$a = 4c$$. Так как число трёхзначное, $$a eq 0$$. Возможные пары $$(a, c)$$: $$(4, 1)$$ и $$(8, 2)$$.
2. Если $$(a, c) = (4, 1)$$, число может быть $$401, 411, 421, 431, 441, 451, 461, 471, 481, 491$$. Проверяем делимость на 29. $$431$$ не делится на 29. $$461$$ не делится на 29. $$491$$ не делится на 29. $$401$$ не делится на 29. $$411$$ не делится на 29. $$421$$ не делится на 29. $$441$$ не делится на 29. $$451$$ не делится на 29. $$471$$ не делится на 29. $$481 = 29 imes 16 + 17$$.
3. Если $$(a, c) = (8, 2)$$, число может быть $$802, 812, 822, 832, 842, 852, 862, 872, 882, 892$$. Проверяем делимость на 29. $$812 = 29 imes 28$$.
4. Проверим условие разности. Число 812. Обратное число 218. Разность $$812 - 218 = 594$$. $$594 > 400$$.
Ответ: 812.