9. Задумано двузначное число, которое делится на 9. К нему справа приписали это же число еще раз. Оказалось, что получившееся четырехзначное число делится на 11. Какое число задумали? Напишите свое решение.

Пусть задуманное двузначное число равно $$\overline{ab}$$, где a и b - цифры. Тогда это число можно записать как $$10a + b$$. По условию, это число делится на 9, то есть $$10a + b = 9k$$, где k - целое число.

Когда к числу $$\overline{ab}$$ справа приписали это же число, получилось четырехзначное число $$\overline{abab}$$, которое можно записать как $$1000a + 100b + 10a + b = 1010a + 101b = 101(10a + b)$$. По условию, это число делится на 11, то есть $$101(10a + b) = 11m$$, где m - целое число. Так как 101 не делится на 11, то $$10a + b$$ должно делиться на 11, то есть $$10a + b = 11n$$, где n - целое число.

Таким образом, задуманное число должно делиться и на 9, и на 11. Единственное двузначное число, которое делится и на 9, и на 11, это 99.

Проверим: если задумано число 99, то четырехзначное число будет 9999. $$9999 \div 11 = 909$$. Условие выполняется.

Ответ: 99