Замените в записи *71** звёздочки таким образом, чтобы пятизначное число делилось на 75. Укажите все возможные числа. Ответ обоснуйте.

Число должно делиться на \(75 = 3 \cdot 25\), поэтому оно должно делиться на \(3\) и на \(25\).

Чтобы число делилось на \(25\), его последние две цифры должны быть \(00\), \(25\), \(50\) или \(75\). В записи \(*71\) возможны окончания \(00\), \(25\), \(50\), \(75\).

Пусть первая цифра равна \(a\), а предпоследняя цифра равна \(b\). Сумма известных цифр равна \(7 + 1 = 8\).

Проверяем делимость на \(3\):

для окончания \(00\): \(a + 8\) должно делиться на \(3\), поэтому \(a = 1, 4, 7\): числа \(17100, 47100, 77100\);

для окончания \(25\): сумма цифр равна \(a + 8 + 2 + 5 = a + 15\), поэтому \(a = 3, 6, 9\): числа \(37125, 67125, 97125\);

для окончания \(50\): сумма цифр равна \(a + 8 + 5 = a + 13\), поэтому \(a = 2, 5, 8\): числа \(27150, 57150, 87150\);

для окончания \(75\): сумма цифр равна \(a + 8 + 7 + 5 = a + 20\), поэтому \(a = 1, 4, 7\): числа \(17175, 47175, 77175\).

Ответ: 17100, 27150, 37125, 47100, 47175, 57150, 67125, 77100, 77175, 87150, 97125.