3. Замените значок * степенью с основанием а так, чтобы стало верным равенство: 1) a³ * = a¹⁰; 2) * ⋅ a = a²; 3) a¹² : * = a⁶; 4) * : a⁵ = a⁶.

3. Замените значок * степенью с основанием а так, чтобы стало верным равенство:

1) a³ * = a¹⁰; 2) * ⋅ a = a²; 3) a¹² : * = a⁶; 4) * : a⁵ = a⁶.

Решение:

1) Чтобы равенство $$a^3 \cdot * = a^{10}$$ было верным, нужно, чтобы при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складывались, то есть $$3 + x = 10$$, где $$x$$ - показатель степени вместо значка *.

Отсюда $$x = 10 - 3 = 7$$. Значит, $$a^3 \cdot a^7 = a^{10}$$.

2) Чтобы равенство $$* \cdot a = a^2$$ было верным, нужно, чтобы при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складывались, то есть $$x + 1 = 2$$, где $$x$$ - показатель степени вместо значка *.

Отсюда $$x = 2 - 1 = 1$$. Значит, $$a^1 \cdot a = a^2$$.

3) Чтобы равенство $$a^{12} : * = a^6$$ было верным, нужно, чтобы при делении степеней с одинаковыми основаниями показатели вычитались, то есть $$12 - x = 6$$, где $$x$$ - показатель степени вместо значка *.

Отсюда $$x = 12 - 6 = 6$$. Значит, $$a^{12} : a^6 = a^6$$.

4) Чтобы равенство $$* : a^5 = a^6$$ было верным, нужно, чтобы при делении степеней с одинаковыми основаниями показатели вычитались, то есть $$x - 5 = 6$$, где $$x$$ - показатель степени вместо значка *.

Отсюда $$x = 6 + 5 = 11$$. Значит, $$a^{11} : a^5 = a^6$$.

Ответ: 1) $$a^7$$; 2) $$a^1$$; 3) $$a^6$$; 4) $$a^{11}$$.