23. Замените звёздочки такими одночленами, чтобы выполнялось равенство: 1) (*)². (*)³ = 72m⁷n¹¹; 2) (*)³. (*)⁴ = -81x¹⁰y¹⁷z¹³; 3) (*)². (*)⁵ = -288a⁹b¹¹c¹².

1) Пусть первое выражение равно $$Am^xn^y$$, а второе $$Bm^zn^w$$. Тогда имеем:

$$(Am^xn^y)^2 \cdot (Bm^zn^w)^3 = A^2m^{2x}n^{2y} \cdot B^3m^{3z}n^{3w} = A^2B^3m^{2x+3z}n^{2y+3w} = 72m^7n^{11}$$

Тогда:

$$A^2B^3 = 72, 2x+3z = 7, 2y+3w = 11$$

Предположим, что A = 2, B = 3, тогда $$A^2B^3 = 4 \cdot 27 = 108$$ - не подходит

Предположим, что A = 3, B = 2, тогда $$A^2B^3 = 9 \cdot 8 = 72$$ - подходит

Тогда имеем:

$$2x+3z = 7, 2y+3w = 11$$

Пусть x = 2, z = 1, тогда 2(2) + 3(1) = 4 + 3 = 7 - подходит

Пусть y = 1, w = 3, тогда 2(1) + 3(3) = 2 + 9 = 11 - подходит

Значит первое выражение $$3m^2n$$, а второе $$2mn^3$$

Проверим: $$(3m^2n)^2 \cdot (2mn^3)^3 = 9m^4n^2 \cdot 8m^3n^9 = 72m^7n^{11}$$ - верно

Ответ: $$3m^2n, 2mn^3$$

---

2) Пусть первое выражение равно $$Ax^ay^bz^c$$, а второе $$Bx^dy^ez^f$$. Тогда имеем:

$$(Ax^ay^bz^c)^3 \cdot (Bx^dy^ez^f)^4 = A^3x^{3a}y^{3b}z^{3c} \cdot B^4x^{4d}y^{4e}z^{4f} = A^3B^4x^{3a+4d}y^{3b+4e}z^{3c+4f} = -81x^{10}y^{17}z^{13}$$

Тогда:

$$A^3B^4 = -81, 3a+4d = 10, 3b+4e = 17, 3c+4f = 13$$

Пусть A = -3, B = 1, тогда $$A^3B^4 = -27 \cdot 1 = -27$$ - не подходит

Пусть A = 1, B = -3, тогда $$A^3B^4 = 1 \cdot 81 = 81$$ - не подходит

Пусть A = -3, B = -1, тогда $$A^3B^4 = -27 \cdot 1 = -27$$ - не подходит

Не подходит, придется раскладывать 81 на простые множители: $$81 = 3^4$$

Тогда нужно, чтобы A^3B^4 = -3^4. Пусть A = -3^2 = -9, B = 1, тогда $$A^3B^4 = (-9)^3 = -729$$ - не подходит.

Пусть A = -3, B = \sqrt[4]{3}$$, тогда $$A^3B^4 = -27 \cdot 3 = -81$$ - подходит

Найдем степени x, y, z:

$$3a+4d = 10, 3b+4e = 17, 3c+4f = 13$$

Пусть a = 2, d = 1, тогда 3(2) + 4(1) = 6 + 4 = 10 - подходит

Пусть b = 3, e = 2, тогда 3(3) + 4(2) = 9 + 8 = 17 - подходит

Пусть c = 3, f = 1, тогда 3(3) + 4(1) = 9 + 4 = 13 - подходит

Тогда первое выражение $$-3x^2y^3z^3$$, а второе $$\sqrt[4]{3}xy^2z$$

Проверим: $$(-3x^2y^3z^3)^3 \cdot (\sqrt[4]{3}xy^2z)^4 = -27x^6y^9z^9 \cdot 3x^4y^8z^4 = -81x^{10}y^{17}z^{13}$$ - верно

Ответ: $$-3x^2y^3z^3, \sqrt[4]{3}xy^2z$$

---

3) Пусть первое выражение равно $$Aa^xb^yc^z$$, а второе $$Ba^db^ec^f$$. Тогда имеем:

$$(Aa^xb^yc^z)^2 \cdot (Ba^db^ec^f)^5 = A^2a^{2x}b^{2y}c^{2z} \cdot B^5a^{5d}b^{5e}c^{5f} = A^2B^5a^{2x+5d}b^{2y+5e}c^{2z+5f} = -288a^9b^{11}c^{12}$$

Тогда:

$$A^2B^5 = -288, 2x+5d = 9, 2y+5e = 11, 2z+5f = 12$$

Разложим 288 на простые множители: $$288 = 2^5 \cdot 3^2$$

Нужно, чтобы A^2B^5 = -2^5 \cdot 3^2. Пусть B = -2, A = 3, тогда $$A^2B^5 = 9 \cdot (-32) = -288$$ - подходит

Найдем степени a, b, c:

$$2x+5d = 9, 2y+5e = 11, 2z+5f = 12$$

Пусть x = 2, d = 1, тогда 2(2) + 5(1) = 4 + 5 = 9 - подходит

Пусть y = 3, e = 1, тогда 2(3) + 5(1) = 6 + 5 = 11 - подходит

Пусть z = 1, f = 2, тогда 2(1) + 5(2) = 2 + 10 = 12 - подходит

Тогда первое выражение $$3a^2b^3c$$, а второе $$-2ab c^2$$

Проверим: $$(3a^2b^3c)^2 \cdot (-2abc^2)^5 = 9a^4b^6c^2 \cdot (-32)a^5b^5c^{10} = -288a^9b^{11}c^{12}$$ - верно

Ответ: $$3a^2b^3c, -2abc^2$$