5. Запишите формулу п-го члена убывающей арифметической прогрессии, если а1+а=8 и 224=7. Вычислите тринадцатый ее член.

Пошаговое решение:

• У нас есть два уравнения:

1. \( a_1 + a_5 = 8 \)
2. \( a_2 \cdot a_4 = 7 \)

• Выразим \( a_5 \) через \( a_1 \) и \( d \): \( a_5 = a_1 + 4d \) Подставим в первое уравнение: \( a_1 + a_1 + 4d = 8 \) \( 2a_1 + 4d = 8 \) \( a_1 + 2d = 4 \) \( a_1 = 4 - 2d \)
• Выразим \( a_2 \) и \( a_4 \) через \( a_1 \) и \( d \): \( a_2 = a_1 + d \) \( a_4 = a_1 + 3d \) Подставим во второе уравнение: \( (a_1 + d)(a_1 + 3d) = 7 \)
• Подставим \( a_1 = 4 - 2d \) в уравнение \( (a_1 + d)(a_1 + 3d) = 7 \): \( (4 - 2d + d)(4 - 2d + 3d) = 7 \) \( (4 - d)(4 + d) = 7 \) \( 16 - d^2 = 7 \) \( d^2 = 9 \) \( d = \pm 3 \) Так как прогрессия убывающая, то \( d = -3 \)
• Найдём \( a_1 \): \( a_1 = 4 - 2d = 4 - 2(-3) = 4 + 6 = 10 \)
• Запишем формулу n-го члена арифметической прогрессии: \( a_n = a_1 + (n - 1)d \) В нашем случае: \( a_n = 10 + (n - 1)(-3) \)
• Найдём тринадцатый член арифметической прогрессии: \( a_{13} = 10 + (13 - 1)(-3) = 10 + 12(-3) = 10 - 36 = -26 \)

Ответ: \( a_{13} = -26 \)