Запишите все правильные дроби со знаменателем 12, у которых числитель и знаменатель взаимно простые числа.

Решение:

Правильная дробь — это дробь, у которой числитель меньше знаменателя. Знаменатель равен 12.

Взаимно простые числа — это числа, наибольший общий делитель (НОД) которых равен 1. Нужно найти такие числители \( a \), что \( 0 < a < 12 \) и НОД(\(\text{a}\), 12) = 1.

Разложим число 12 на простые множители: \( 12 = 2^2 \times 3 \). Значит, числитель не должен делиться ни на 2, ни на 3.

Перечислим числа от 1 до 11 и проверим условие:

• 1: НОД(1, 12) = 1. Подходит.
• 2: НОД(2, 12) = 2. Не подходит.
• 3: НОД(3, 12) = 3. Не подходит.
• 4: НОД(4, 12) = 4. Не подходит.
• 5: НОД(5, 12) = 1. Подходит.
• 6: НОД(6, 12) = 6. Не подходит.
• 7: НОД(7, 12) = 1. Подходит.
• 8: НОД(8, 12) = 4. Не подходит.
• 9: НОД(9, 12) = 3. Не подходит.
• 10: НОД(10, 12) = 2. Не подходит.
• 11: НОД(11, 12) = 1. Подходит.

Числители, которые взаимно просты с 12: 1, 5, 7, 11.

Ответ: \(\frac{1}{12}, \frac{5}{12}, \frac{7}{12}, \frac{11}{12}\).