Запитання №12 (3 б.) Циліндр, площа перерізу якого 2 см², під дією вантажу масою 1,05 т стиснувся на 0,025 % початкової довжини. Визначте модуль Юнга матеріалу, з якого виготовлено брусок. Відповідь записати в ГПа.

Розв'язання:

Формула для визначення модуля Юнга \( E \) через абсолютне видовження \( \Delta l \) виглядає так:

\[ E = \frac{F \cdot l_0}{S \cdot \Delta l} \]

Для розв'язання задачі нам потрібно визначити силу \( F \), початкову довжину \( l_0 \) та абсолютне видовження \( \Delta l \) у відповідних одиницях СІ.

1. Сила \( F \):

Сила прикладена від вантажу, тому \( F = mg \), де \( g \) — прискорення вільного падіння (приймемо \( g \approx 10 \text{ м/с}^2 \)).

Маса \( m = 1,05 \text{ т} = 1050 \text{ кг} \).

\[ F = 1050 \text{ кг} \times 10 \text{ м/с}^2 = 10500 \text{ Н} \]

2. Площа \( S \):

\[ S = 2 \text{ см}^2 = 2 \times (10^{-2} \text{ м})^2 = 2 \times 10^{-4} \text{ м}^2 \]

3. Абсолютне видовження \( \Delta l \):

З умови задачі, стиснення становить \( 0,025 \% \) початкової довжини. Це означає, що \( \Delta l = 0,00025 \cdot l_0 \).

Підставимо це у формулу для модуля Юнга:

\[ E = \frac{F \cdot l_0}{S \cdot (0,00025 \cdot l_0)} \]

Скорочуємо \( l_0 \):

\[ E = \frac{F}{S \cdot 0,00025} \]

Підставимо числові значення:

\[ E = \frac{10500 \text{ Н}}{(2 \times 10^{-4} \text{ м}^2) \cdot 0,00025} \]

\[ E = \frac{10500}{5 \times 10^{-8}} \text{ Па} = 210000 \times 10^4 \text{ Па} = 2,1 \times 10^{10} \text{ Па} \]

Переведемо Паскалі в Гігапаскалі:

\( 1 \text{ ГПа} = 10^9 \text{ Па} \)

\[ E = 2,1 \times 10^{10} \text{ Па} = 21 \text{ ГПа} \]

Відповідь: 21 ГПа