1. Завод по плану должен был изготовить 800 деталей к определённому сроку. Перевыполняя дневную норму на 20 деталей, завод выполнил задание на 2 дня раньше срока. За сколько дней завод выполнил план?

Разбираемся:

Эта задача на «движение», только вместо скорости здесь «производительность» (деталей в день). Решать будем через составление уравнения.

Обозначения:

• Пусть x – количество дней, за которое завод должен был выполнить план.
• Тогда 800/x – плановая дневная норма (производительность).
• Фактическая дневная норма: 800/x + 20.
• Фактическое время выполнения: x − 2.

Уравнение:

Завод выполнил тот же объем работы (800 деталей), но с увеличенной производительностью за меньшее время. Получаем уравнение:

\[ (\frac{800}{x} + 20)(x - 2) = 800 \]

Решение уравнения:

1. Раскрываем скобки: \[ 800 - \frac{1600}{x} + 20x - 40 = 800 \]
2. Упрощаем: \[ 20x - \frac{1600}{x} - 40 = 0 \]
3. Делим все на 20: \[ x - \frac{80}{x} - 2 = 0 \]
4. Умножаем на x (чтобы избавиться от дроби): \[ x^2 - 2x - 80 = 0 \]
5. Решаем квадратное уравнение через дискриминант: \[ D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-80) = 4 + 320 = 324 \] \[ x_1 = \frac{2 + \sqrt{324}}{2} = \frac{2 + 18}{2} = 10 \] \[ x_2 = \frac{2 - 18}{2} = -8 \] (не подходит, так как время не может быть отрицательным)

Ответ: 10 дней.