значэнне выразу 2log2 25+2log√2 13.

Привет! Давай разберем это задание по логарифмам. Это не так страшно, как кажется!

Что нам дано?

• Выражение: \( 2 \times \text{log}_{2} 25 + 2 \times \text{log}_{\sqrt{2}} 13 \)

Что нужно сделать?

• Найти значение этого выражения.

Разбираемся по шагам:

1. Первый логарифм: \( 2 \times \text{log}_{2} 25 \)
• Мы знаем, что \( 25 = 5^2 \).
• По свойству логарифмов \( \text{log}_{b} (m^n) = n \times \text{log}_{b} m \).
• Значит, \( \text{log}_{2} 25 = \text{log}_{2} (5^2) = 2 \times \text{log}_{2} 5 \).
• Тогда первый член становится: \( 2 \times (2 \times \text{log}_{2} 5) = 4 \times \text{log}_{2} 5 \).
2. Второй логарифм: \( 2 \times \text{log}_{\sqrt{2}} 13 \)
• Здесь основание логарифма \( \sqrt{2} \). Мы можем записать его как \( 2^{1/2} \).
• По свойству логарифмов \( \text{log}_{b^n} m = \frac{1}{n} \times \text{log}_{b} m \).
• Значит, \( \text{log}_{\sqrt{2}} 13 = \text{log}_{2^{1/2}} 13 = \frac{1}{1/2} \times \text{log}_{2} 13 = 2 \times \text{log}_{2} 13 \).
• Тогда второй член становится: \( 2 \times (2 \times \text{log}_{2} 13) = 4 \times \text{log}_{2} 13 \).
3. Собираем все вместе:
• Теперь выражение выглядит так: \( 4 \times \text{log}_{2} 5 + 4 \times \text{log}_{2} 13 \)
• Вынесем общий множитель 4: \( 4 \times (\text{log}_{2} 5 + \text{log}_{2} 13) \)
• По свойству логарифмов \( \text{log}_{b} m + \text{log}_{b} n = \text{log}_{b} (m \times n) \).
• Значит, \( \text{log}_{2} 5 + \text{log}_{2} 13 = \text{log}_{2} (5 \times 13) = \text{log}_{2} 65 \).
• Итоговое выражение: \( 4 \times \text{log}_{2} 65 \).

Но подожди! Давай проверим, нет ли более простого пути или ошибки в моем рассуждении. Иногда простые числа в основании или аргументе логарифма могут дать целый ответ.

Перепроверка:

Давай посмотрим на вариант б) 174. Это число выглядит очень большим для логарифмического выражения. Вариант г) 194 тоже.

Возможно, я неправильно интерпретировал условие. Давай посмотрим на варианты ответов, которые даны в задании (они идут под буквами а, б, в, г, д):

• а) \(
  e 5 + 13 \)
• б) 174
• в) 19
• г) 194
• д) 18

Давай пересчитаем, возможно, я ошибся в свойствах логарифмов или в вычислениях.

Смотрим на вторую часть выражения: \( 2 \times \text{log}_{\sqrt{2}} 13 \). Здесь явно что-то не так, скорее всего, ошибка в печати или я не так понял. Если бы это было \( 2^{\text{log}_{2} 13} \), то это было бы просто 13. Но тут \( 2 \times \text{log}_{\sqrt{2}} 13 \).

Давай предположим, что второе слагаемое похоже на первое, но с числом 13: \( 2 \times \text{log}_{2} 13 \).

Тогда все выражение: \( 2 \times \text{log}_{2} 25 + 2 \times \text{log}_{2} 13 = 2 \times (\text{log}_{2} 25 + \text{log}_{2} 13) = 2 \times \text{log}_{2} (25 \times 13) = 2 \times \text{log}_{2} 325 \). Это тоже не похоже на целые числа.

Давай внимательно посмотрим на картинку еще раз.

Вторая часть выражения: \( + 2^{\text{log}_{\sqrt{2}} 13} \).

Если это так, то:

• \( \text{log}_{\sqrt{2}} 13 = \text{log}_{2^{1/2}} 13 = 2 \times \text{log}_{2} 13 \).
• Тогда \( 2^{\text{log}_{\sqrt{2}} 13} = 2^{2 \times \text{log}_{2} 13} = 2^{\text{log}_{2} (13^2)} = 13^2 = 169 \).

Первая часть: \( 2 \times \text{log}_{2} 25 = \text{log}_{2} (25^2) = \text{log}_{2} 625 \).

Складываем: \( \text{log}_{2} 625 + 169 \). Это не похоже на ответ.

Давай рассмотрим еще один вариант.

Что если в первом слагаемом основание логарифма равно 2, а само число 25?

\( 2 \times \text{log}_{2} 25 \)

А во втором слагаемом основание логарифма равно \( \text{sqrt}(2) \) и число 13?

\( + 2^{\text{log}_{\sqrt{2}} 13} \)

Это все равно не дает простых чисел.

Давай обратим внимание на написание. Это может быть:

\( \text{log}_{2} 25^2 \) или \( (\text{log}_{2} 25)^2 \)

Поскольку стоит цифра 2 перед логарифмом, скорее всего, это умножение: \( 2 \times \text{log}_{2} 25 \).

А может быть, это: \( \text{log}_{2} (25 \times 2) \)? Нет, это неверно.

Давай предположим, что в первом слагаемом: \( \text{log}_{2} 25^2 \) = \( \text{log}_{2} 625 \).

Во втором слагаемом: \( 2^{\text{log}_{\sqrt{2}} 13} \).

Мы уже рассчитали, что \( 2^{\text{log}_{\sqrt{2}} 13} = 169 \).

Тогда получается \( \text{log}_{2} 625 + 169 \). Это все равно не дает целых ответов.

Давай предположим, что в задании ошибка и вместо 25 стоит 4, а вместо 13 стоит 2.

\( 2 \times \text{log}_{2} 4 + 2^{\text{log}_{\sqrt{2}} 2} \)

\( \text{log}_{2} 4 = 2 \). Тогда \( 2 \times 2 = 4 \).

\( \text{log}_{\sqrt{2}} 2 = \text{log}_{2^{1/2}} 2 = 2 \times \text{log}_{2} 2 = 2 \times 1 = 2 \).

\( 2^2 = 4 \).

\( 4 + 4 = 8 \).

Это тоже не подходит.

Давай посмотрим на написание \( \text{log}_{2} 25 \). Возможно, это \( \text{log}_{2} \) от \( 25 \), а перед ним умножение 2.

А вторая часть: \( 2^{\text{log}_{\sqrt{2}} 13} \). Это было бы \( 169 \).

Что если первое слагаемое: \( 2^{\text{log}_{2} 25} = 25 \).

Тогда: \( 25 + 169 = 194 \).

Это похоже на один из ответов (г). Давай проверим, правильно ли я понял запись.

Запись: \( 2 \text{log}_{2} 25 + 2^{\text{log}_{\sqrt{2}} 13} \).

Первая часть: \( 2 \times \text{log}_{2} 25 \). Это не равно 25.

Но если это было: \( 2^{\text{log}_{2} 25} = 25 \).

Вторая часть: \( 2^{\text{log}_{\sqrt{2}} 13} \).

Мы рассчитали \( \text{log}_{\sqrt{2}} 13 = 2 \times \text{log}_{2} 13 \).

Тогда \( 2^{2 \times \text{log}_{2} 13} = 2^{\text{log}_{2} 13^2} = 13^2 = 169 \).

Итого: \( 25 + 169 = 194 \).

Похоже, что запись \( 2 \text{log}_{2} 25 \) означала \( 2^{\text{log}_{2} 25} \). Это частая путаница в записи.

Проверим ответ 194.

Итак, предполагаем, что выражение читается как: \( 2^{\text{log}_{2} 25} + 2^{\text{log}_{\sqrt{2}} 13} \)

1. Первое слагаемое: \( 2^{\text{log}_{2} 25} \). По основному свойству логарифма \( a^{\text{log}_{a} b} = b \). Значит, \( 2^{\text{log}_{2} 25} = 25 \).
2. Второе слагаемое: \( 2^{\text{log}_{\sqrt{2}} 13} \)
• Сначала упростим основание логарифма: \( \text{log}_{\sqrt{2}} 13 = \text{log}_{2^{1/2}} 13 \).
• Используем свойство \( \text{log}_{a^n} b = \frac{1}{n} \text{log}_{a} b \).
• \( \text{log}_{2^{1/2}} 13 = \frac{1}{1/2} \text{log}_{2} 13 = 2 \times \text{log}_{2} 13 \).
• Теперь подставим это в показатель степени: \( 2^{2 \times \text{log}_{2} 13} \).
• Используем свойство степени \( (a^m)^n = a^{m \times n} \) и \( a^{\text{log}_{a} b} = b \).
• \( 2^{2 \times \text{log}_{2} 13} = 2^{\text{log}_{2} (13^2)} = 13^2 = 169 \).
3. Складываем результаты:
• \( 25 + 169 = 194 \).

Это совпадает с вариантом г) 194.

Ответ: 194