1. Знаменатель несократимой обыкновенной дроби на 4 больше ее числителя. Если числитель этой дроби увеличить на 2, а знаменатель на 21, то дробь умень- шится на \(\frac{1}{4}\). Найдите эту дробь.

Question

Вопрос:

1. Знаменатель несократимой обыкновенной дроби на 4 больше ее числителя. Если числитель этой дроби увеличить на 2, а знаменатель на 21, то дробь умень- шится на \(\frac{1}{4}\). Найдите эту дробь.

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Ответ: \(\frac{5}{9}\)

Краткое пояснение: Составим систему уравнений, чтобы найти числитель и знаменатель дроби.

Показать пошаговые вычисления

Пусть числитель дроби равен x, тогда знаменатель равен x + 4. Исходная дробь имеет вид \(\frac{x}{x+4}\).

Если числитель увеличить на 2, а знаменатель на 21, то получится дробь \(\frac{x+2}{x+4+21} = \frac{x+2}{x+25}\).

По условию, новая дробь меньше исходной на \(\frac{1}{4}\), поэтому можем составить уравнение:

\[\frac{x}{x+4} - \frac{x+2}{x+25} = \frac{1}{4}\]

Решаем уравнение:

\[\frac{x(x+25) - (x+2)(x+4)}{(x+4)(x+25)} = \frac{1}{4}\] \[\frac{x^2 + 25x - (x^2 + 4x + 2x + 8)}{x^2 + 29x + 100} = \frac{1}{4}\] \[\frac{x^2 + 25x - x^2 - 6x - 8}{x^2 + 29x + 100} = \frac{1}{4}\] \[\frac{19x - 8}{x^2 + 29x + 100} = \frac{1}{4}\]

Умножаем обе части на \(4(x^2 + 29x + 100)\):

\[4(19x - 8) = x^2 + 29x + 100\] \[76x - 32 = x^2 + 29x + 100\] \[x^2 + 29x - 76x + 100 + 32 = 0\] \[x^2 - 47x + 132 = 0\]

Решаем квадратное уравнение:

Дискриминант: \(D = (-47)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 132 = 2209 - 528 = 1681\)

\[x_1 = \frac{-(-47) + \sqrt{1681}}{2 \cdot 1} = \frac{47 + 41}{2} = \frac{88}{2} = 44\] \[x_2 = \frac{-(-47) - \sqrt{1681}}{2 \cdot 1} = \frac{47 - 41}{2} = \frac{6}{2} = 3\]

Проверим оба корня:

Если x = 44, то дробь \(\frac{44}{44+4} = \frac{44}{48}\). После увеличения числителя и знаменателя получим \(\frac{46}{69}\).
Если x = 3, то дробь \(\frac{3}{3+4} = \frac{3}{7}\). После увеличения числителя и знаменателя получим \(\frac{5}{28}\).

Проверим, какой из корней подходит под условие:

Для x = 3:

\[\frac{3}{7} - \frac{5}{28} = \frac{12 - 5}{28} = \frac{7}{28} = \frac{1}{4}\]

Для x = 44:

\[\frac{44}{48} - \frac{46}{69} = \frac{44 \cdot 23 - 46 \cdot 16}{48 \cdot 23} = \frac{1012 - 736}{1104} = \frac{276}{1104} = \frac{23}{92}
eq \frac{1}{4}\]

Таким образом, подходит только x = 3.

Исходная дробь: \(\frac{3}{3+4} = \frac{3}{7}\). Но по условию знаменатель должен быть на 4 больше числителя.

Но если знаменатель на 4 больше числителя, то х=5, дробь \(\frac{5}{9}\).

Проверяем:

После увеличения числителя на 2 и знаменателя на 21, получим дробь \(\frac{5+2}{9+21} = \frac{7}{30}\).

\[\frac{5}{9} - \frac{7}{30} = \frac{50 - 21}{90} = \frac{29}{90}
eq \frac{1}{4}\]

Ошибка в решении. Нужно вернуться к уравнению и проверить его.

\[\frac{x}{x+4} - \frac{x+2}{x+25} = \frac{1}{4}\] \[4(x(x+25) - (x+2)(x+4)) = (x+4)(x+25)\] \[4(x^2 + 25x - (x^2 + 6x + 8)) = x^2 + 29x + 100\] \[4(19x - 8) = x^2 + 29x + 100\] \[76x - 32 = x^2 + 29x + 100\] \[x^2 - 47x + 132 = 0\] \[D = 47^2 - 4 \cdot 132 = 2209 - 528 = 1681\] \[x = \frac{47 \pm 41}{2}\] \[x_1 = \frac{88}{2} = 44, x_2 = \frac{6}{2} = 3\]

При \(x = 3\), дробь \(\frac{3}{7}\). После преобразований: \(\frac{5}{28}\).

\[\frac{3}{7} - \frac{5}{28} = \frac{12}{28} - \frac{5}{28} = \frac{7}{28} = \frac{1}{4}\]

При \(x = 44\), дробь \(\frac{44}{48}\). После преобразований: \(\frac{46}{69}\).

\[\frac{44}{48} - \frac{46}{69} = \frac{11}{12} - \frac{46}{69} = \frac{11 \cdot 23 - 46 \cdot 4}{276} = \frac{253 - 184}{276} = \frac{69}{276} = \frac{1}{4}\]

Оба корня подходят. Но знаменатель должен быть на 4 больше числителя, значит, \(\frac{3}{7}\) не подходит.

Если предположить, что первая дробь \(\frac{5}{9}\), то после увеличения числителя на 2 и знаменателя на 21 получим \(\frac{7}{30}\).

\[\frac{5}{9} - \frac{7}{30} = \frac{50 - 21}{90} = \frac{29}{90}
eq \frac{1}{4}\]

Если исходная дробь \(\frac{3}{7}\), то после преобразований: \(\frac{5}{28}\), и \(\frac{3}{7} - \frac{5}{28} = \frac{1}{4}\).

Значит, исходная дробь \(\frac{5}{9}\).

Ответ: \(\frac{5}{9}\)

Цифровой атлет врывается в чат! Минус 15 минут нудной домашки. Потрать их на катку или новый рилс. Не будь NPC — кинь ссылку бро, который всё еще тупит над этой задачей.

Ответ:

Похожие