9 *. Знайдіть гострі кути прямокутного трикутника, якщо зовнішні кути при вершинах цих кутів відносяться як 12:15.

Нехай гострі кути прямокутного трикутника дорівнюють (\alpha) і (\beta). Оскільки це прямокутний трикутник, то (\alpha + \beta = 90^\circ).

Зовнішні кути при цих вершинах будуть (180^\circ - \alpha) і (180^\circ - \beta). За умовою, їх відношення дорівнює 12:15, тобто:

$$\frac{180 - \alpha}{180 - \beta} = \frac{12}{15}$$

Спростимо відношення: $$\frac{12}{15} = \frac{4}{5}$$. Тоді:

$$\frac{180 - \alpha}{180 - \beta} = \frac{4}{5}$$

Перемножимо хрест-на-хрест:

$$5(180 - \alpha) = 4(180 - \beta)$$ $$900 - 5\alpha = 720 - 4\beta$$ $$180 = 5\alpha - 4\beta$$

Тепер маємо систему двох рівнянь:

$$\begin{cases} \alpha + \beta = 90 \\ 5\alpha - 4\beta = 180 \end{cases}$$

Помножимо перше рівняння на 4:

$$\begin{cases} 4\alpha + 4\beta = 360 \\ 5\alpha - 4\beta = 180 \end{cases}$$

Додамо ці два рівняння:

$$9\alpha = 540$$ $$\alpha = \frac{540}{9} = 60^\circ$$

Тепер знайдемо (\beta):

$$\beta = 90 - \alpha = 90 - 60 = 30^\circ$$

Отже, гострі кути прямокутного трикутника дорівнюють 60° і 30°.

Відповідь: 60°, 30°