\[\boxed{\text{572\ (572).}\text{\ }\text{Еуроки\ -\ ДЗ\ без\ мороки}}\]
\[Пусть\ x - число\ команд;\]
\[(x - 1) - количество\ игр,\ \]
\[которые\ может\ сыграть\ \]
\[каждая\ команда.\]
\[x(x - 1)\ :2 - всего\ матчей.\]
\[Составим\ уравнение:\]
\[\frac{x(x - 1)}{2} = 36\]
\[x(x - 1) = 36 \cdot 2\]
\[x^{2} - x = 72\]
\[x^{2} - x - 72 = 0\]
\[D = 1 + 288 = 289\]
\[x_{1} = \frac{1 - 17}{2} = - 8 < 0\ \]
\[(не\ подходит\ по\ условию).\]
\[x_{2} = \frac{1 + 17}{2} = 9\ (команд) -\]
\[участвовало\ в\ розыгрыше.\]
\[Ответ:9\ команд.\ \]