\[\boxed{\text{598\ (598).}\text{\ }\text{Еуроки\ -\ ДЗ\ без\ мороки}}\]
\[Отношение\ гипотенузы\ \]
\[к\ катету\ 13\ :12.\]
\[x - коэффициент\ подобия.\]
\[Пусть\ 13\text{x\ }см - гипотенуза,\ \]
\[а\ 12x\ см - катет.\]
\[Длина\ второго\ катета\ 15\ см.\]
\[Составим\ уравнение,\]
\[используя\ теорему\ Пифагора:\]
\[(12x)^{2} + 15^{2} = (13x)^{2}\]
\[144x^{2} + 225 = 169x^{2}\]
\[169x^{2} - 144x^{2} = 225\]
\[25x^{2} = 225\]
\[x^{2} = 9\]
\[x = 3\ (см).\]
\[13x = 3 \cdot 13 = 39\ (см) -\]
\[гипотенуза.\]
\[12x = 12 \cdot 3 = 36\ (см) - катет.\]
\[P = 39 + 36 + 15 = 90\ см.\]
\[Ответ:90\ см.\ \ \]