ГДЗ по алгебре 8 класс Макарычев Задание 907

\[\boxed{\text{907\ (907).\ }\text{Еуроки\ -\ ДЗ\ без\ мороки}}\]

Пояснение.

При решении используем следующее:

1. Среднее арифметическое чисел a и b вычисляется по формуле:

\[\frac{\left( \mathbf{a + b} \right)}{\mathbf{2}}\mathbf{\text{.\ }}\]

2. Среднее геометрическое чисел a и b вычисляется по формуле:

\[\sqrt{\mathbf{(}\mathbf{a}\mathbf{\bullet}\mathbf{b}\mathbf{)}}\mathbf{.}\]

3. Среднее арифметическое неотрицательных чисел больше или равно среднему геометрическому.

4. Если в неравенстве перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак на противоположный, то получится неравенство, равносильное данному.

5. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится верное неравенство.

6. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число и изменить знак неравенства на противоположный, то получится верное неравенство.

Решение.

\[a > 0,\ \ b > 0\]

\[\textbf{а)}\ (a + b)\left( \text{ab} + 16 \right) \geq 16\text{ab}\]

\[\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{\text{ab}},\ \ \]

\[\frac{\text{ab} + 16}{2} \geq \sqrt{16\text{ab}}\]

\[(a + b) \geq 2\sqrt{\text{ab}},\]

\[\text{\ \ }\text{ab} + 16 \geq 8\sqrt{\text{ab}}\]

\[\Longrightarrow (a + b)(ab + 16) \geq\]

\[\geq 2\sqrt{\text{ab}} \cdot 8\sqrt{\text{ab}}\]

\[(a + b)(ab + 16) \geq\]

\[\geq 16ab \Longrightarrow ч.т.д.\]

\[\textbf{б)}\ \left( a^{2} + 4b \right)(4b + 25) \geq 80ab\]

\[\frac{a^{2} + 4b}{2} \geq \sqrt{a^{2} \cdot 4b},\ \ \]

\[a^{2} + 4b \geq 4a\sqrt{b}\]

\[\frac{4b + 25}{2} \geq \sqrt{4b \cdot 25},\]

\[4b + 25 \geq 20\sqrt{b}\]

\[\Longrightarrow \left( a^{2} + 4b \right)(4b + 25) \geq\]

\[\geq 4a\sqrt{b} \cdot 20\sqrt{b}\]

\[\left( a^{2} + 4b \right)(4b + 25) \geq\]

\[\geq 80ab \Longrightarrow ч.т.д.\]