ГДЗ по алгебре 8 класс Макарычев Задание 909

\[\boxed{\text{909\ (909).\ }\text{Еуроки\ -\ ДЗ\ без\ мороки}}\]

Пояснение.

Знаки сравнения:

\(\geq \ - \ \)больше или равно;

\(\leq \ - \ \)меньше или равно.

Куб полусуммы чисел a и b \(\left( \frac{\mathbf{a}\mathbf{+}\mathbf{b}}{\mathbf{2}} \right)^{\mathbf{3}}\)меньше или равен полусуммы их кубов

\(\frac{\mathbf{a}^{\mathbf{3}}\mathbf{+ \ }\mathbf{b}^{\mathbf{3}}}{\mathbf{2}}\).

При решении используем следующее:

1. Среднее арифметическое чисел a и b вычисляется по формуле:

\[\frac{\left( \mathbf{a + b} \right)}{\mathbf{2}}\mathbf{\text{.\ }}\]

2. Среднее геометрическое чисел a и b вычисляется по формуле:

\[\sqrt{\mathbf{(}\mathbf{a}\mathbf{\bullet}\mathbf{b}\mathbf{)}}\mathbf{.}\]

3. Среднее арифметическое неотрицательных чисел больше или равно среднему геометрическому.

Решение.

\[a > 0,\ \ b > 0\]

\[\left( \frac{a + b}{2} \right)^{3} \leq \frac{a^{3} + b^{3}}{2}\]

\[\left( \frac{a + b}{2} \right)^{3} \geq \left( \sqrt{\text{ab}} \right)^{3}\]

\[\frac{a³ + b³}{2} \geq \sqrt{a^{3}b^{3}}\]

\[\Longrightarrow \left( \sqrt{\text{ab}} \right)^{3} \leq \sqrt{a^{3}b^{3}}\]

\[\frac{a^{3} + b^{3}}{2} \geq \sqrt{a^{3}b^{3}}\]

\[\text{ab}\sqrt{\text{ab}} \leq ab\sqrt{\text{ab}}\]

\[то\ есть:\ \ \ \ \ \left( \frac{a + b}{2} \right)^{3} \leq\]

\[\leq \frac{a^{3} + b^{3}}{2} \Longrightarrow ч.т.д.\]