ГДЗ по алгебре 8 класс Макарычев Задание 910

\[\boxed{\text{910\ (910).\ }\text{Еуроки\ -\ ДЗ\ без\ мороки}}\]

Пояснение.

Знаки сравнения:

\(\geq \ - \ \)больше или равно;

\(\leq \ - \ \)меньше или равно.

При решении используем следующее:

Куб полусуммы чисел a и b \(\left( \frac{\mathbf{a}\mathbf{+}\mathbf{b}}{\mathbf{2}} \right)^{\mathbf{3}}\)меньше или равен полусуммы их кубов

\(\frac{\mathbf{a}^{\mathbf{3}}\mathbf{+ \ }\mathbf{b}^{\mathbf{3}}}{\mathbf{2}}\).

1. Среднее арифметическое чисел a и b вычисляется по формуле:

\[\frac{\left( \mathbf{a + b} \right)}{\mathbf{2}}\mathbf{\text{.\ }}\]

2. Среднее геометрическое чисел a и b вычисляется по формуле:

\[\sqrt{\mathbf{(}\mathbf{a}\mathbf{\bullet}\mathbf{b}\mathbf{)}}\mathbf{.}\]

3. Среднее арифметическое неотрицательных чисел больше или равно среднему геометрическому.

4. Свойство квадратных корней:

\[\mathbf{(}\sqrt{\mathbf{a}}\mathbf{)}^{\mathbf{2}}\mathbf{= a.}\]

5. Формулу умножения многочлена на многочлен – каждое число из первой скобки умножить на каждое число из второй:

\[\left( \mathbf{a + b} \right)\left( \mathbf{c + d} \right)\mathbf{= ac + ad + bc + bd.}\]

Решение.

\[\left( \sqrt{(a + c)(b + d)} \right)^{2} \geq\]

\[\geq \left( \sqrt{\text{ab}} + \sqrt{\text{cd}} \right)^{2}\]

\[(a + c)(b + d) \geq\]

\[\geq ab + 2\sqrt{\text{abcd}} + cd\]

\[(a + c)(b + d) \geq\]

\[\geq 2\sqrt{\text{abcd}} + 2\sqrt{\text{abcd}}\]

\[(a + c)(b + d) \geq 4\sqrt{\text{abcd}}\]

\[a + c \geq 2\sqrt{\text{ac}},\]

\[\ \ b + d = 2\sqrt{\text{bd}} \Longrightarrow\]

\[\Longrightarrow (a + c)(b + d) =\]

\[= 2\sqrt{\text{ac}} \cdot 2\sqrt{\text{bd}}\]

\[(a + c)(b + d) =\]

\[= 4\sqrt{\text{abcd}} \Longrightarrow ч.т.д.\]