ГДЗ по алгебре 8 класс Макарычев Задание 912

\[\ \boxed{\text{912\ (912).\ }\text{Еуроки\ -\ ДЗ\ без\ мороки}}\]

Пояснение.

Знаки сравнения:

\(\geq \ - \ \)больше или равно;

\(\leq \ - \ \)меньше или равно.

При решении используем следующее:

1. Среднее арифметическое чисел a и b вычисляется по формуле:

\[\frac{\left( \mathbf{a + b} \right)}{\mathbf{2}}\mathbf{\text{.\ }}\]

2. Среднее геометрическое чисел a и b вычисляется по формуле:

\[\sqrt{\mathbf{(}\mathbf{a}\mathbf{\bullet}\mathbf{b}\mathbf{)}}\mathbf{.}\]

3. Среднее арифметическое неотрицательных чисел больше или равно среднему геометрическому.

4. Чтобы вынести общий множитель за скобки, надо каждый член многочлена разделить на их наибольший общий делитель и результат записать в скобках, а общий множитель за скобками:

\[\mathbf{ab + b}\mathbf{m}\mathbf{= b \bullet}\left( \mathbf{a + m} \right)\mathbf{.}\]

Решение.

\[x + y + z = 1\]

\[\sqrt{4x + 1} + \sqrt{4y + 1} + \sqrt{4z + 1} \leq\]

\[\leq 5\]

\[\left. \ \begin{matrix} \sqrt{4x + 1} = \frac{(4x + 1) + 1}{2} \\ \sqrt{4y + 1} = \frac{(4y + 1) + 1}{2} \\ \sqrt{4z + 1} = \frac{(4z + 1) + 1}{2} \\ \end{matrix} \right\} \Longrightarrow\]

\[= \frac{4x + 2}{2} + \frac{4y + 2}{2} + \frac{4z + 2}{2} =\]

\[= 2x + 1 + 2y + 1 + 2z + 1 =\]

\[= 2 \cdot (x + y + z) + 3 \Longrightarrow\]

\[\Longrightarrow при\ x + y + z = 1 \Longrightarrow\]

\[2 \cdot 1 + 3 = 5,\]

\[\ \ 5 = 5 \Longrightarrow ч.т.д.\]