ГДЗ по алгебре 8 класс Макарычев Задание 991

\[\boxed{\text{991\ (991).\ }\text{Еуроки\ -\ ДЗ\ без\ мороки}}\]

Пояснение.

аⁿ (а в n-ой степени) – число «n» называют показателем степени, а число «а» – основанием степени. Степень говорит нам о том, сколько раз следует умножить число «a» само на себя. Например, 3⁴=3*3*3*3=81.

Степень с отрицательным показателем – это дробь, числителем которой является единица, а знаменателем – данное число с положительным показателем:

\[\mathbf{a}^{\mathbf{- n}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{a}^{\mathbf{n}}}\mathbf{.}\]

При решении используем следующие правила:

1. Чтобы умножить число на дробь, нужно числитель умножить на это число, а знаменатель оставить без изменений:

\[\mathbf{a \bullet}\frac{\mathbf{b}}{\mathbf{c}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{\text{ab}}}{\mathbf{c}}\mathbf{.}\]

2. При делении степеней с одинаковыми основаниями из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя, а основание оставляют прежним:

\[\mathbf{a}^{\mathbf{m}}\mathbf{\ :\ }\mathbf{a}^{\mathbf{n}}\mathbf{= \ }\mathbf{a}^{\mathbf{m - n}}\mathbf{.}\]

3. При возведении степени в степень (степень говорит нам о том, сколько раз следует умножить число само на себя. Например, 3⁴=3*3*3*3=81) показатели перемножаются, а основание остается прежним:

\[\mathbf{(}\mathbf{a}^{\mathbf{m}}\mathbf{)}^{\mathbf{n}}\mathbf{=}\mathbf{a}^{\mathbf{m \bullet n}}\mathbf{.}\]

4. При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, а основание оставляют прежним:

\[\mathbf{a}^{\mathbf{m}}\mathbf{\bullet}\mathbf{a}^{\mathbf{n}}\mathbf{=}\mathbf{a}^{\mathbf{m + n}}\mathbf{.}\]

Решение.

\[\textbf{а)}\frac{1}{16} \cdot 2^{10} = \frac{1}{2^{4}} \cdot 2^{10} = \frac{2^{10}}{2^{4}} =\]

\[= 2^{6} = 64\]

\[\textbf{б)}\ 32 \cdot \left( 2^{- 4} \right)^{2} = 2^{5} \cdot 2^{- 8} =\]

\[= 2^{5 + ( - 8)} = 2^{- 3} = \frac{1}{2^{3}} = \frac{1}{8}\]

\[\textbf{в)}\ 8^{- 1} \cdot 4³ = \frac{1}{8} \cdot \left( 2^{2} \right)^{3} = \frac{2^{6}}{2^{3}} =\]

\[= 2³ = 8\]

\[\textbf{г)}\ 4^{5} \cdot 16^{- 2} = \left( 2^{2} \right)^{5} \cdot \left( 2^{4} \right)^{- 2} =\]

\[= 2^{10} \cdot 2^{- 8} = 2^{10 + ( - 8)} = 2² = 4\]