ГДЗ по алгебре 9 класс Макарычев Задание 382

\[\boxed{\text{382\ (382).}\text{\ }\text{Еуроки\ -\ ДЗ\ без\ мороки}}\]

\[x^{4} - 13x^{2} + k = 0\]

\[Пусть\ t = x^{2};\ \ t^{2} = x^{4}.\]

\[\textbf{а)}\ Для\ того,\ чтобы\ исходное\ \]

\[уравнение\ имело\ 4\ корня,\ \]

\[необходимо,\]

\[чтобы\ уравнение\ \ t^{2} - 13t +\]

\[+ k = 0\ имело\ \]

\[неотрицательные\ корни.\]

\[D = 169 - 4k \geq 0\ \ \]

\[4k \leq 169\ \ \]

\[k \leq \frac{169}{4}\]

\[t_{1,2} = \frac{13 \pm \sqrt{D}}{2};\text{\ \ }\]

\[t_{1} = \frac{13 + \sqrt{D}}{2} > 0;\ \]

\[\ t_{2} = \frac{13 - \sqrt{D}}{2} > 0.\]

\[\sqrt{D} > 13:\ \ \]

\[\sqrt{169 - 4k} < 13\]

\[169 - 4k - 169 < 0\]

\[4k > 0\ \ \]

\[k > 0.\]

\[0 < k < \frac{169}{4}\]

\[0 < k < 42,25.\]

\[\textbf{б)}\ D > 0;\ \ \ t_{1} > 0;\ \ \ t_{2} < 0;\ \ \]

\[или\ \ D = 0.\]

\[Исходное\ уравнение\ имеет\ два\ \]

\[корня,\ если\ дискриминант\ \]

\[полученного\]

\[после\ замены\ квадратного\ \]

\[уравнения\ положителен:\]

\[при\ этом\ один\]

\[корень\ положителен,\ \]

\[а\ другой\ отрицателен.\]

\[Или\ если\ дискриминант\ \]

\[полученного\ квадратного\ \]

\[уравнения\ равен\ 0.\]

\[1)\ 13 - \sqrt{D} < 0\ \ \]

\[13 - \sqrt{169 - 4k} < 0\]

\[13 < \sqrt{169 - 4k}\]

\[169 < 169 - 4k\ \ \]

\[k < 0.\]

\[2)\ D = 0:\]

\[169 - 4k = 0\]

\[4k = 169\]

\[k = 42,25.\]

\[Ответ:\ \ а)\ 0 < k < 42,25;\ \ \]

\[\textbf{б)}\ \ k < 0\ \ и\ k = 42,25.\]