ГДЗ по алгебре 9 класс Макарычев Задание 460

\[\boxed{\text{460\ (460).}\text{\ }\text{Еуроки\ -\ ДЗ\ без\ мороки}}\]

\[Пусть\ a\ и\ b - катеты\ \]

\[треугольника.\ \]

\[Тогда\ его\ периметр:\ \ \]

\[a + b + 37 = 84.\]

\[По\ теореме\ Пифагора:\]

\[a^{2} + b^{2} = 37^{2}.\]

\[Составим\ систему\ уравнений:\]

\[\left\{ \begin{matrix} a^{2} + b^{2} = 37^{2}\text{\ \ } \\ a + b + 37 = 84 \\ \end{matrix} \right.\ \Longrightarrow\]

\[\Longrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 47 - b\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ (47 - b)^{2} + b^{2} = 37^{2} \\ \end{matrix} \right.\ \Longrightarrow\]

\[\Longrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 47 - b\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ 2209 - 94b + b^{2} + b^{2} = 1369 \\ \end{matrix} \right.\ \Longrightarrow\]

\[\Longrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 47 - b\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ 2b^{2} - 94b + 840 = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[b^{2} - 47b + 420 = 0\]

\[D = 47^{2} - 4 \cdot 420 = 526\]

\[b_{1,2} = \frac{47 \pm 23}{2} = 35;12.\]

\[\left\{ \begin{matrix} b_{1} = 35 \\ a_{1} = 12 \\ \end{matrix} \right.\ \ \ \ или\ \ \ \left\{ \begin{matrix} b_{2} = 12 \\ a_{2} = 35 \\ \end{matrix} \right.\ ;\ \ \]

\[S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b =\]

\[= \frac{12 \cdot 35}{2} = 210\ \left( см^{2} \right).\]

\[Ответ:210\ см^{2}.\]