ГДЗ по геометрии 8 класс Атанасян Задание 1180

\[\boxed{\mathbf{1180.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]

\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]

\[\mathbf{Дано:}\]

\[\mathrm{\Delta}ABC;\mathrm{\Delta}A_{1}B_{1}C_{1} - вписанные,\ \]

\[равносторонние.\]

\[\mathbf{Доказать:}\]

\[AA_{1} \cap BB_{1} \cap \cap CC_{1} = O\ или\ \]

\[образуют\ равносторонний\ \]

\[треугольник.\]

\[\mathbf{Доказательство.}\]

\[1)\ Рассмотрим\ поворот\ вокруг\ \]

\[точки\ O\ на\ 120{^\circ},\ при\ котором\ \]

\[вершина\ \text{A\ }отображается\ на\ \]

\[вершину\ \text{B.\ }\]

\[При\ этом\ повороте\ вершина\ \text{B\ }\]

\[отображается\ на\ вершину\ C,\]

\[а\ вершина\ C - в\ вершину\ \text{A.}\]

\[2)\ Кроме\ того,\ вершина\ A_{1}\ \]

\[отображается\ на\ вершину\ B_{1},\ \ \]

\[а\ значит,\ прямая\ AA_{1}\ \]

\[отображается\ на\ BB_{1}\text{.\ }\]

\[Аналогично\ прямая\ BB_{1}\ \]

\[отображается\ на\ CC_{1},\ а\ CC_{1}\ на\ \]

\[AA_{1}\text{.\ }\]

\[3)\ Если\ прямая\ AA_{1}\ проходит\ \]

\[через\ центр\ O,\ то\ и\ BB_{1},\ CC_{1}\]

\[также\ проходят\ через\ точку\ \text{O\ }\]

\[(рисунок\ а).\]

\[4)\ Если\ же\ прямая\ AA_{1}\ не\ \]

\[проходит\ через\ точку\ O,\ то\ и\ \]

\[BB_{1}\ не\ проходит\ через\ точку\ \text{O.\ }\]

\[В\ таком\ случае\ прямые\ AA_{1}\ и\ \]

\[BB_{1}\ при\ пересечении\ образуют\ \]

\[угол\ в\ 60{^\circ}.\]

\[Аналогично\ и\ для\ прямых\ BB_{1}\ \]

\[и\ CC_{1};CC_{1}\ и\ AA_{1}.\]

\[5)\ Значит,\ прямые\ AA_{1},\ BB_{1}\ и\ \]

\[CC_{1}\ при\ пересечении\ образуют\ \]

\[равносторониий\ треугольник.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]