ГДЗ по геометрии 8 класс Атанасян Задание 334

\[\boxed{\mathbf{334.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]

\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]

\[\mathbf{Дано:}\]

\[\mathrm{\Delta}ABC;\]

\[AM_{1},BM_{2},CM_{3} - биссектрисы;\]

\[QR\bot AM_{1};\]

\[QP\bot BM_{2};\]

\[RP\bot CM_{3}.\]

\[\mathbf{Доказать:}\]

\[\mathrm{\Delta}AQB\sim\mathrm{\Delta}BPC\sim\mathrm{\Delta}ARC.\]

\[\mathbf{Доказательство.}\]

\[1)\ \angle M_{1}AC = \angle BAM_{1} = \frac{1}{2}\angle BAC\ \]

\[\left( так\ как\ AM_{1} - биссектриса \right):\]

\[\angle CAR = \angle BAQ = 90{^\circ} - \frac{1}{2}\angle BAC.\]

\[2)\ \angle BCM_{3} = \angle ACM_{3} = \frac{1}{2}\angle BCA\ \]

\[\left( так\ как\ CM_{3} - биссектриса \right):\]

\[\angle BCP = \angle ACR = 90{^\circ} - \frac{1}{2}\angle BCA.\]

\[3)\ \angle ABM_{2} = \angle M_{2}BC = \frac{1}{2}\angle ABC\ \]

\[\left( так\ как\ BM_{2} - биссектриса \right):\]

\[\angle QBA = \angle CBP = 90{^\circ} - \frac{1}{2}\angle ABC.\]

\[4)\ \angle BPC =\]

\[= 180{^\circ} - \angle PBC - \angle PCB =\]

\[= \frac{1}{2}(\angle ABC + \angle BCA) =\]

\[= \frac{1}{2}(180{^\circ} - \angle BAC) =\]

\[= 90{^\circ} - \frac{1}{2}\angle BAC.\]

\[5)\ \angle CRA =\]

\[= 180{^\circ} - \angle CAR - \angle ACR =\]

\[= 180{^\circ} - 90{^\circ} +\]

\[= \frac{1}{2}(\angle BAC + \angle BCA) =\]

\[= \frac{1}{2}(180{^\circ} - \angle ABC) =\]

\[= 90{^\circ} - \frac{1}{2}\angle ABC.\]

\[6)\ \angle AQB =\]

\[= 180{^\circ} - \angle QAB - \angle QBA =\]

\[= \frac{1}{2}(\angle BAC + \angle ABC) =\]

\[= \frac{1}{2}(180{^\circ} - \angle ACB) =\]

\[= 90{^\circ} - \frac{1}{2}\angle ACB.\]

\[7)\ Все\ углы\ треугольников\]

\[\mathrm{\Delta}AQB,\ \mathrm{\Delta}BPC\ и\ \mathrm{\Delta}ARC -\]

\[соответственно\ равны.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]