ГДЗ по геометрии 8 класс Атанасян Задание 861

\[\boxed{\mathbf{861.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]

\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]

\[\mathbf{Дано:}\]

\[ABCD - трапеция;\]

\[AB \parallel CD;\]

\[AB < CD;\]

\[O = AC \cap BD;\]

\[\mathrm{\Delta}AOB - равносторонний;\]

\[M \in OA;\ \]

\[N \in BC;\]

\[K \in OD;\]

\[AM = MO;\]

\[BN = NC;\]

\[OK = KD.\]

\[\mathbf{Доказать:}\]

\[\mathrm{\Delta}MNK - равносторонний.\]

\[\mathbf{Доказательство.}\]

\[1)\ Пусть\ OA = OB = AB = a;\ \ \]

\[CD = b.\]

\[2)\ Проведем\ прямую\ KE \parallel CD;\ \]

\[E \in OC;\ KE \parallel CD \parallel AB:\ \]

\[\angle AOB = \angle KOE\ \]

\[(как\ вертикальные);\]

\[следовательно:\]

\[\mathrm{\Delta}KOE\sim\mathrm{\Delta}BOA\ (по\ двум\ углам);\]

\[\mathrm{\Delta}KOE - равносторонний.\]

\[3)\ KE - средняя\ линия\ \mathrm{\Delta}DOC:\]

\[KE = \frac{1}{2}CD = \frac{b}{2} = OK = OE.\]

\[4)\ Аналогично - \ \mathrm{\Delta}DOC\sim\mathrm{\Delta}BOA:\ \]

\[\mathrm{\Delta}DOC - равносторонний;\ \]

\[OC = OD = CD = b\]

\[Значит:\]

\[5)\ NE - средняя\ линия\ \mathrm{\Delta}COB:\]

\[NE = \frac{1}{2}OB = \frac{a}{2};\ \]

\[NE \parallel OB;\ \]

\[значит:\]

\[\angle NEO = \angle BOA = 60{^\circ}.\]

\[6)\ KO = KE = \frac{b}{2};\ \ \]

\[OM = EN = \frac{a}{2};\]

\[\angle KOM = \angle KEN = 120{^\circ};\ \]

\[следовательно:\]

\[\mathrm{\Delta}KOM = \mathrm{\Delta}KEN;\ \ \]

\[KM = KN;\ \]

\[\angle MKO = \angle NKE.\]

\[7)\ \angle MKN =\]

\[= \angle OKE + \angle MKO - \angle NKE =\]

\[= 60{^\circ}.\]

\[8)\ \mathrm{\Delta}MNK - равнобедренный:\]

\[KM = KN;\ \]

\[с\ углом\ по\ вершине\ \]

\[\angle MKN = 60{^\circ}.\]

\[Значит:\ \]

\[два\ угла\ при\ основании\ также\ \]

\[равны\ 60{^\circ};\]

\[\mathrm{\Delta}MNK - равносторонний.\]

\[\mathbf{Что\ и\ требовалось\ доказать.}\]