\[\boxed{\mathbf{877.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]
\[Возможны\ два\ случая.\]
\[\textbf{а)}\ Внешнее\ касание:\]
\[\textbf{б)}\ Внутренее\ касание:\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[\left( O_{1};r \right) \cap \left( O_{2};R \right) = M;\]
\[\textbf{а)}\ AB_{1},A_{1}B - секущие;\]
\[\textbf{б)}\ AB,A_{1}B_{1} - секущие.\]
\[\mathbf{Доказать:}\]
\[AA_{1} \parallel BB_{1}.\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[\textbf{а)}\ 1)\ Проведем\ касательную\ \]
\[\text{CD.}\]
\[2)\ Рассмотрим\ углы,\ которые\ \]
\[образуют\ касательная\ и\ \]
\[секущая\ A_{1}B:\]
\[\angle A_{1}MD = \frac{1}{2} \cup A_{1}M;\ \]
\[\angle CMB = \frac{1}{2} \cup MB;\]
\[\angle A_{1}MB =\]
\[= \angle CMB\ (как\ вертикальные).\]
\[Значит:\]
\[\cup A_{1}M = \cup MB.\]
\[3)\ \ \angle A_{1}AM = \angle BB_{1}M\ и\ \ \]
\[AB_{1} - секущая:\]
\[AA_{1} \parallel BB_{1}\ \]
\[(накрест\ лежащие\ углы\ равны).\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
\[\textbf{б)}\ 1)\ Рассмотрим\ углы,\ \]
\[которые\ образуют\ касательная\ \]
\[и\ секущая\ A_{1}B:\]
\[\angle A_{1}MD = \frac{1}{2} \cup A_{1}M;\]
\[\angle B_{1}MD = \frac{1}{2} \cup B_{1}M;\ \]
\[\angle A_{1}MD = \angle B_{1}\text{MD.}\]
\[Значит:\ \]
\[\cup A_{1}M = \cup B_{1}\text{M.}\]
\[2)\ \ \angle AA_{1}M = \angle BB_{1}M\ и\ \]
\[AB - секущая:\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]